期权定价：二叉树模型

我们考虑一个二叉树市场模型，包含两类基本资产：无风险资产和股票。

时间区间被划分为步长为的小区间。

为了防止通过交易无风险资产和股票进行套利，我们假设（否则可以通过做空股票、投资无风险资产或者做空无风险资产、买入股票套利）。

考虑一个以股票为标的资产、到期日为的期权，其回报依赖于，或者说可以写作一个函数：

其中或者。

我们的目标是遵循无套利原理推导出该期权的合理价格，基本想法是：

在我们考虑的二叉树模型中，这样的策略确实是存在的。

首先定义一个概率测度，在这个概率测度下是一列独立同分布的随机变量，且

定义:

其中:

在初始时刻投资构造一个投资组合。

假设在时刻( )，投资组合的价值。我们持有份股票，并把剩余的资金投入无风险资产，其中：

那么在时刻，该投资组合的价值为：

根据数学归纳法，我们可以得到：

即：该投资组合完美地复制了期权的回报。

根据无套利原理，合理的期权价格为该投资组合的初始价值，即:

关于这个期权定价公式，有两点值得注意：