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2022/12/06阅读:13主题:默认主题

期权定价:二叉树模型

期权定价:二叉树模型

我们考虑一个二叉树市场模型,包含两类基本资产:无风险资产和股票。

时间区间 被划分为步长为 的小区间。

  • 无风险资产:在时间 内,其回报率为 ,其中 为年化回报率(连续复利)。
  • 股票:在时刻 ,其价格为 。经过时间 ,其价格可能变成 或者 )。

为了防止通过交易无风险资产和股票进行套利,我们假设 (否则可以通过做空股票、投资无风险资产或者做空无风险资产、买入股票套利)。

考虑一个以股票为标的资产、到期日为 的期权,其回报 依赖于 ,或者说 可以写作一个函数:

其中 或者

我们的目标是遵循无套利原理推导出该期权的合理价格,基本想法是:

  • 利用无风险资产和股票构建一个self-financing投资组合(即中途不融资撤资),使得其在 的价值与期权的回报无论在何种情况下都相等。
  • 如果能做到的话,那么该投资组合的初始价值(或者说初始构造成本)应该等于期权价格,否则很容易构造套利策略。

在我们考虑的二叉树模型中,这样的策略确实是存在的。

首先定义一个概率测度 ,在这个概率测度下 是一列独立同分布的随机变量,且

定义:

其中:

在初始时刻投资 构造一个投资组合。

假设在 时刻( ),投资组合的价值 。我们持有 份股票,并把剩余的 资金投入无风险资产,其中:

那么在 时刻,该投资组合的价值为:

根据数学归纳法,我们可以得到:

即:该投资组合完美地复制了期权的回报。

根据无套利原理,合理的期权价格为该投资组合的初始价值,即:

关于这个期权定价公式,有两点值得注意:

  • 期权的价格跟现实中 的概率无关。
  • 在概率测度 下,无风险资产、股票、任意期权都有完全相同的期望收益。 也被称为风险中性测度。

分类:

数学

标签:

数学

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