期权定价：二叉树模型

期权定价：二叉树模型

我们考虑一个二叉树市场模型，包含两类基本资产：无风险资产和股票。

时间区间 被划分为步长为 的小区间。

• 无风险资产：在时间 内，其回报率为 ，其中 为年化回报率（连续复利）。
• 股票：在时刻 ，其价格为 。经过时间 ，其价格可能变成 或者 （ ）。

为了防止通过交易无风险资产和股票进行套利，我们假设 （否则可以通过做空股票、投资无风险资产或者做空无风险资产、买入股票套利）。

考虑一个以股票为标的资产、到期日为 的期权，其回报 依赖于 ，或者说 可以写作一个函数：

其中 或者 。

我们的目标是遵循无套利原理推导出该期权的合理价格，基本想法是：

• 利用无风险资产和股票构建一个self-financing投资组合（即中途不融资撤资），使得其在 的价值与期权的回报无论在何种情况下都相等。
• 如果能做到的话，那么该投资组合的初始价值（或者说初始构造成本）应该等于期权价格，否则很容易构造套利策略。

在我们考虑的二叉树模型中，这样的策略确实是存在的。

首先定义一个概率测度 ，在这个概率测度下 是一列独立同分布的随机变量，且

定义:

其中:

在初始时刻投资 构造一个投资组合。

假设在 时刻( )，投资组合的价值 。我们持有 份股票，并把剩余的 资金投入无风险资产，其中：

那么在 时刻，该投资组合的价值为：

根据数学归纳法，我们可以得到：

即：该投资组合完美地复制了期权的回报。

根据无套利原理，合理的期权价格为该投资组合的初始价值，即:

关于这个期权定价公式，有两点值得注意：

• 期权的价格跟现实中 或 的概率无关。
• 在概率测度 下，无风险资产、股票、任意期权都有完全相同的期望收益。 也被称为风险中性测度。