性本Shine

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2022/05/06阅读:32主题:自定义主题1

修术 | 数学基础 | 傅里叶变换&拉普拉斯变换

01

引言

傅里叶变换和拉普拉斯变换是工程数学中非常重要的概念,但作者先前对其概念的理解是模糊的。

下文首先用可视化的方式理解两种变换,然后阐述拉普拉斯变换如何应用于求解微分方程。

02

傅里叶变换的可视化

在高等数学中,我们学过傅里叶级数,其可将周期函数分解为有限个正弦函数的叠加。

傅里叶变换则将傅里叶级数这一正弦分解的功能推广到了非周期函数情况,其本质就是为函数找其频域组成(正弦波组成)。

对周期函数,其频域组成是有限离散的冲激函数;对于非周期函数,其频域分解无穷连续,构成曲线F(ω)。

傅里叶变换本质
傅里叶变换本质
傅里叶变换公式
傅里叶变换公式

注意:函数f(t)与t轴所围成的面积等于F(ω)的极大值。若f(t)不收敛,则其围成的面积无穷大,F(ω)极大值无穷大,这样的函数不存在。因此,傅里叶变换对函数f(t)有收敛性限制(狄利克雷条件)。这种限制体现在拉普拉斯变换中就是收敛域。

03

两种变换的公式对比

傅里叶变换公式
傅里叶变换公式
拉普拉斯变换公式
拉普拉斯变换公式

给出两种积分变换的公式,对比观察之,可以发现傅里叶变换是将函数从t轴(数轴)变换到ω轴(数轴);拉普拉斯变换则是将函数从t轴变换到s平面(复平面)。

可以想象,若将傅里叶变换和拉普拉斯变换可视化,前者是以ω轴为定义域,F(ω)为值域的一条二维曲线;后者是以s平面为定义域,F(s)为值域的一张三维曲面。

04

拉普拉斯变化的可视化

拉普拉斯变换可以理解为 这个函数簇的傅里叶变换,可视化为图像如👇

拉普拉斯变换可视化
拉普拉斯变换可视化

👇图为三维曲面被 切得的曲线,即 的傅里叶变换曲线。

👇图为傅里叶变换三维曲面被 切得的曲线,即 的傅里叶变换曲线。

👇图为傅里叶变换三维曲面被 切得的曲线,即 的傅里叶变换曲线。

观察变化趋势可以发现,当α越接近1时,变换曲线越接近正弦曲线,三维曲面切线的极大值越接近∞,这两个点就是所谓的极点。注意切面无法越过极点,这是因为此时左边的变换函数不再收敛,傅里叶变换条件不再满足,拉普拉斯变换也就不存在。

从俯视角度看上述三维曲面图,可得👇图。

拉普拉斯变换二维俯视图
拉普拉斯变换二维俯视图

同样可以发现,颜色最深的两个点就是极点,极点右侧为收敛域。

考虑待变换的函数发散的情况,如 。其二位俯视图即将👆图右移两个单位。

傅里叶变换将对其无能为力(iω轴处于极点左侧);拉普拉斯变换通过将其放缩的形式全部展示出来,并告知在α>1时才有定义。

05

极点分析

函数拉氏变换后的极点位置与函数本身的图像息息相关,将上述二维俯视图做一定简化,在实际中我们只需要关心形如👇图的零极点图即可。

零极点图与曲线
零极点图与曲线

可以发现,两个极点始终关于横轴对称,故可仅考虑横轴上方的极点。

极点左右拉,对应函数衰减幅度变化,向左衰减加快;极点上下拉,对应函数频率变换,向上频率增大。当极点拉到第一象限时,此时函数不再收敛,不存在傅里叶变换。

06

拉普拉斯变换解微分方程

以上所述侧重对拉普拉斯变换本身的理解,以下侧重其应用——求解微分方程。

现实世界可以被抽象为系统,以弹簧系统为例,其对应的微分方程👇

弹簧系统的微分方程
弹簧系统的微分方程
拉普拉斯变换后的输入输出方程
拉普拉斯变换后的输入输出方程

观察上面两个方程可以发现,第一个微分方程左边含输出项的导数,难以分析;第二个直接是输入输出的函数,容易分析,体现拉普拉斯变换的作用。中间那一坨就是传递函数,其描绘了系统的输入输出性质。

在👆弹簧系统中,m表示质量,b表示阻尼,k表示弹性系数,x(t)表示外部激励。

现假设输入是一个10N的阶跃,拉普拉斯形式为X(s)=10/s,就得到了输出Y(s)的方程(一个三维曲面,俯视是零极点图)。

通过变化系统的b,k系统,可以发现y(t)的形状与Y(s)的极点息息相关。

经典控制理论实际上就是通过设计不同的X(s),来配置X(s)G(s)的极点,进而达到控制输出Y(s)的目的

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