张春成

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2022/03/18阅读:36主题:默认主题

没头没尾的事

没头没尾的事

一个方程组摆在面前, 你猜我想让你干点啥?


方程

一个十分可爱的方程组摆在面前,

第一步是猜它是个啥,

  • 它有可能是个微分几何问题,那么 代表坐标 处的值?
  • 它还有可能是个偏微分方程组,那么 而其中更暗含着 是一个连续的三元函数。

相信从用词篇幅可以看得出来, 根据我不想提及的相关背景, 它应该是一个偏微分方程组。 那么另一个问题来了, 我要拿它干点啥?

问题的边界

从偏微分方程的角度来说, 它是描述函数自身的微分规律

上式的意思是说这个 函数具有一个性质, 在定义域中每个点, 它在三个方向上的偏微分加起来等于函数值的三次方, (对,就是杨幂的那个幂是三次方的意思, 请原谅我的陈年老梗)。

另一个方程,

它出现在这个极其特殊的位置, 仿佛、应该、好像、大概, 是规定了这个函数的“边界条件”。

就是说, 是某个函数, 在 时, 函数与之处处相等。

所以面对这个方程组, 我再一次梗住了。

我要对它做点啥?

  • 我是要证明函数连续性?
  • 我是要求解函数形式?
  • 通解?
  • 特解?
  • 边界条件?
  • W.T.F?

算了,我放弃了, 我自己想想我能做点啥吧。

瞎 JB 求解

在求解之前, 我先焚香沐浴, 并且虔诚地向阎王祷告, 希望这个函数是连续、且不平凡的。

这里的“平凡”不是朴树的平凡, 而是不能说

就一走了之, 这个废话一般的解就叫做“平凡解”。

开始求解, 首先,在这个连续域内, 找一条曲线, 满足参数方程

其中, 代表一个确定的函数关系,但我们并不关心它的具体形式。 只需要它满足以下条件即可

接下来,代回到我们可爱的偏微分方程

由于左侧是全微分形式, 因此可化简为

为了求解这个东西, 我就再焚香沐浴,祈求谛听给我托梦一个可行解

函数图像如图所示

PDE 1
PDE 1

为了将函数 还原到 的原始空间中, 我们再回到连续曲线的参数方程 , 对 进行分析可得

其中, 是待定系数。

这里 可以有无穷多种形式

在这个空间中, 函数图像如图所示

PDE 2
PDE 2

在这个空间中, 函数图像如图所示

PDE 3
PDE 3

此时,需要说明的是, 虽然参数方程的初衷是某一条曲线,

  • 但这样的曲线有无穷多条,
  • 并且足以占满整个空间, (注意,上面两句是并列关系,并非因果或递进关系)

因此,我可以安全地说, 这个结果是在定义域内 (哪 TMD 来的定义域,还不是我自己编的), 求解出了 的形式。

最后的 ONE MORE THING, 由于当 时,一定有 , 因此,当

取别的什么值时,

也就是说, 是待定系数, 要确定它的值, 就需要使用 函数, 因此,它才称为“边界条件”。

可视化

函数图像的可视化代码可见 我的代码仓库[1]

参考资料

[1]

我的代码仓库: https://observablehq.com/@listenzcc/graph-of-math

分类:

数学

标签:

数学

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