没头没尾的事

没头没尾的事

一个方程组摆在面前， 你猜我想让你干点啥？

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• 没头没尾的事
• 方程
• 问题的边界
• 瞎 JB 求解
• 可视化

方程

一个十分可爱的方程组摆在面前，

第一步是猜它是个啥，

• 它有可能是个微分几何问题，那么 代表坐标 处的值？
• 它还有可能是个偏微分方程组，那么

  而其中更暗含着

  是一个连续的三元函数。

相信从用词篇幅可以看得出来， 根据我不想提及的相关背景， 它应该是一个偏微分方程组。 那么另一个问题来了， 我要拿它干点啥？

问题的边界

从偏微分方程的角度来说， 它是描述函数自身的微分规律

上式的意思是说这个 函数具有一个性质， 在定义域中每个点， 它在三个方向上的偏微分加起来等于函数值的三次方， （对，就是杨幂的那个幂是三次方的意思， 请原谅我的陈年老梗）。

另一个方程，

它出现在这个极其特殊的位置， 仿佛、应该、好像、大概， 是规定了这个函数的“边界条件”。

就是说， 是某个函数， 在 时， 函数与之处处相等。

所以面对这个方程组， 我再一次梗住了。

我要对它做点啥？

• 我是要证明函数连续性？
• 我是要求解函数形式？
• 通解？
• 特解？
• 边界条件？
• W.T.F？

算了，我放弃了， 我自己想想我能做点啥吧。

瞎 JB 求解

在求解之前， 我先焚香沐浴， 并且虔诚地向阎王祷告， 希望这个函数是连续、且不平凡的。

这里的“平凡”不是朴树的平凡， 而是不能说

就一走了之， 这个废话一般的解就叫做“平凡解”。

开始求解， 首先，在这个连续域内， 找一条曲线， 满足参数方程

其中， 代表一个确定的函数关系，但我们并不关心它的具体形式。 只需要它满足以下条件即可

接下来，代回到我们可爱的偏微分方程

由于左侧是全微分形式， 因此可化简为

为了求解这个东西， 我就再焚香沐浴，祈求谛听给我托梦一个可行解

则

函数图像如图所示

为了将函数 还原到 的原始空间中， 我们再回到连续曲线的参数方程 ， 对 进行分析可得

其中， 是待定系数。

这里 可以有无穷多种形式

在这个空间中， 函数图像如图所示

在这个空间中， 函数图像如图所示

此时，需要说明的是， 虽然参数方程的初衷是某一条曲线，

• 但这样的曲线有无穷多条，
• 并且足以占满整个空间， （注意，上面两句是并列关系，并非因果或递进关系）

因此，我可以安全地说， 这个结果是在定义域内 （哪 TMD 来的定义域，还不是我自己编的）， 求解出了 的形式。

最后的 ONE MORE THING， 由于当 时，一定有 ， 因此，当 时

当 取别的什么值时，

也就是说， 是待定系数， 要确定它的值， 就需要使用 函数， 因此，它才称为“边界条件”。

可视化

函数图像的可视化代码可见 我的代码仓库^[1]。

参考资料

[1]

我的代码仓库: https://observablehq.com/@listenzcc/graph-of-math