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2022/09/17阅读:13主题:默认主题

积木块 | 整数解问题01

阅读以下内容需要掌握的前置知识有:

  • 分式的基本运算
  • 找约数(因数)

整数解问题作为中高考和竞赛常见的题型,不需要技巧性的解题能力,通过对问题的化简回归到基本题型就可以解决大部分难题。有一定做题经验的朋友应该也会发现,整数解问题常常是代数大题的突破口,由此击破即可解题。

这篇文章就从最简单的整数解问题说起,它的特点是

  1. 只涉及一个代数式;
  2. 这个代数式只有一个未知数。

我们先来看一个简单的例子。

典例

  • 已知分式 的值是整数,则整数 的值是________.

思路与框架

要解决此类涉及一个代数式与一个未知数的问题,我们从最基本的类型开始探究。

1.

当分子为常数,分母为含有 的代数式时,我们只要让分母为分子的约数即可。

在这个例子中,满足条件的

不过我们要注意,如果是这样一个分式 ,那么分母为分子的约数只能保证是有可能的解,至于是否满足题意需要进行具体分析(目的是保证 也为整数)。

在这个例子中, 可能的取值为 ,但当 时, 不是整数,故排除。

2.

当分子分母均含有字母时,通过分离系数将其转化为 型。

这道题目本身并不复杂,分离系数的目的是消去分子中的字母,所以不必抠字眼纠结于到底什么是分离系数,而是抓住目的进行代数运算,我们将在下面更复杂的题目中使用这一方法。

  • 例:若分式 的值为整数,则整数 的值为_______.

较为敏锐的同学可以发现,

这一步骤帮助我们实现了分离系数,我们已经回到了第一种类型,只需要考虑 的约数即可。

如果无法熟练观察到这样的特征,利用换元法可以高效地进行分离系数。

比较常见的换元是将分母整个替换掉,令 ,那么所有的 都可以用 来表示。

还原为 后可以和上述方法得到一样的结果。

3.

当分子分母均含有字母,且分子的次数更高时,同样采用分离系数的办法对其进行转化。

如此一来,我们只需要考虑 的约数就可以了。

针对这一类型的分离系数,如果你的运算能力不足以应对,更常见的做法仍然是换元。

我们可以令 ,那么所有的 都可以用 来表示。

再将 还原为 ,也可以得到和(*)一样的结果。

总结

针对一个代数式一个未知数的整数解问题,我们的基本模型是 型,需要用到的方法是分离系数与换元


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分类:

数学

标签:

数学基础

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