阅读以下内容需要掌握的前置知识有：

• 分式的基本运算
• 找约数（因数）

整数解问题作为中高考和竞赛常见的题型，不需要技巧性的解题能力，通过对问题的化简回归到基本题型就可以解决大部分难题。有一定做题经验的朋友应该也会发现，整数解问题常常是代数大题的突破口，由此击破即可解题。

这篇文章就从最简单的整数解问题说起，它的特点是

1. 只涉及一个代数式；
2. 这个代数式只有一个未知数。

我们先来看一个简单的例子。

典例

• 已知分式 的值是整数，则整数 的值是________.

思路与框架

要解决此类涉及一个代数式与一个未知数的问题，我们从最基本的类型开始探究。

1. 型

当分子为常数，分母为含有 的代数式时，我们只要让分母为分子的约数即可。

在这个例子中，满足条件的 有

不过我们要注意，如果是这样一个分式 ，那么分母为分子的约数只能保证是有可能的解，至于是否满足题意需要进行具体分析（目的是保证 也为整数）。

在这个例子中， 可能的取值为 ，但当 取 时， 不是整数，故排除。

2. 型

当分子分母均含有字母时，通过分离系数将其转化为 型。

这道题目本身并不复杂，分离系数的目的是消去分子中的字母，所以不必抠字眼纠结于到底什么是分离系数，而是抓住目的进行代数运算，我们将在下面更复杂的题目中使用这一方法。

• 例：若分式 的值为整数，则整数 的值为_______.

较为敏锐的同学可以发现，

这一步骤帮助我们实现了分离系数，我们已经回到了第一种类型，只需要考虑 是 的约数即可。

如果无法熟练观察到这样的特征，利用换元法可以高效地进行分离系数。

比较常见的换元是将分母整个替换掉，令 ，那么所有的 都可以用 来表示。

将 还原为 后可以和上述方法得到一样的结果。

3. 型

当分子分母均含有字母，且分子的次数更高时，同样采用分离系数的办法对其进行转化。

如此一来，我们只需要考虑 是 的约数就可以了。

针对这一类型的分离系数，如果你的运算能力不足以应对，更常见的做法仍然是换元。

我们可以令 ，那么所有的 都可以用 来表示。

再将 还原为 ，也可以得到和（*）一样的结果。

总结

针对一个代数式一个未知数的整数解问题，我们的基本模型是 型，需要用到的方法是分离系数与换元。

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