1. 问题引入

假期到了，王傲天同学想把全国各地城市旅游一遍。众所周知，王傲天同学非常懒，就连旅游也要规划最短路径。那么如何找寻最短旅游线路呢？这就是著名的旅行商问题（Travelling Salesman Problem, TSP）。

旅行商问题：给定一系列城市和每对城市之间的距离，求解访问每一座城市一次并回到起始城市的最短回路。TSP是组合优化中的一个NP困难问题，因此没有解析解，但我们可以使用启发式算法找到最优解或准最优解。

启发式算法有很多：基于材料统计力学的模拟退火算法（Simulated Annealing, SA），基于自然选择原理和自然遗传机制的遗传算法（Genetic Algorithms, GA），以及粒子群优化算法等（Particle Swarm Optimization, PSO）。王傲天同学这次采用遗传算法寻找最优路径。

遗传算法以自然选择原理为基础，模拟自然界生物进化机制，通过群体搜索技术，最终得到最优解或准最优解。为减少陷入局部最优解的概率，遗传算法必须进行变异和交叉操作。遗传算法需设置参数，包括种群大小，最大迭代次数，交叉率、变异率等等。遗传算法的简易流程如下：

设置编码策略。可采用二进制编码、格雷码、符号编码、排列编码等。TSP问题常用排列编码
初始化种群。可采用改良圈算法得到初始化种群。
设置目标函数。TSP中目标函数为路径长度。
交叉操作。以单点交叉为例，对于2个父代个体，随机选取一个交叉点对染色体片段进行交叉互换操作。
变异操作。将个体染色体中某些基因进行变动。
选择。在父代种群和子代种群中选择使得目标函数值最小的个个体作为新一代种群。对新一代种群继续进行交叉、变异、选择。直到满足精度要求或达到最大迭代次数。

2. 实战操作

2.1 获取数据

旅游当然要首先确定目标城市。王傲天同学的目标城市清单包括北京、上海、广州、武汉、沈阳、昆明、喀什、西安、洛阳等。获取目标城市的经纬度坐标信息。这里推荐一个网址：https://maplocation.sjfkai.com/。

得到的目标城市经纬度坐标如下所示：

现在有了目标城市的经纬度坐标，接下来就是用遗传算法求解最优路径。首先要明白由经纬度坐标求两城市间球面距离的方法。

2.2 已知经纬度求球面距离

不妨把地球当成理想球体，且半径为。球面上有两点，经纬度坐标分别为，其中与分别表示经度和纬度。在空间直角坐标系中，两点坐标分别为:

则由向量的知识可以得出：

化简得到：

因此两点的球面距离为 . 注意这里的角是弧度制。

2.3 计算距离矩阵

首先导入需要的模块并读取数据文件。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import os
import pandas as pd
import math
# 路径自行设置
mypath=r"..."
data=pd.read_excel(os.path.join(mypath+"\\"+"location.xlsx"))

然后获取经纬度信息（Python的math模块的三角函数的输入值默认是弧度制，因此事先将经纬度坐标转化为弧度制）

points = np.array(data[['经度','纬度']])*math.pi/180

由于王傲天同学从深圳出发并回到深圳，因此指定起点与终点：

start_point=end_point=[points[-1]]

中间点：

pass_points=points[0:-1,]

计算距离矩阵：

points_coordinate=np.concatenate([pass_points,start_point,end_point])
num_points=pass_points.shape[0]
dist_matrix=np.zeros((num_points+2,num_points+2))
for i in range(num_points+2):
    for j in range(i,num_points+2):
        dist_matrix[i,j]=6370*math.acos((math.cos(points_coordinate[i,0]-points_coordinate[j,0])
                                         *math.cos(points_coordinate[i,1])*math.cos(points_coordinate[j,1])
                                         +math.sin(points_coordinate[i,1])*math.sin(points_coordinate[j,1])))
distance_matrix=dist_matrix+np.transpose(dist_matrix)

2.4 遗传算法

首先定义目标函数：

def cal_total_distance(routine):
    num_points, = routine.shape
    routine=np.concatenate([[num_points],routine,[num_points+1]]) 
    return sum([distance_matrix[routine[i], routine[i+1]] for i in range(num_points+2-1)])

接下来傲天同学直接调用Python库scikit-opt，省去了自行编写代码的麻烦（真是把懒发挥到了极致）。首先安装库pip install scikit-opt，而后调用：

from sko.GA import GA_TSP
ga_tsp = GA_TSP(func=cal_total_distance, n_dim=num_points, size_pop=50, max_iter=500, prob_mut=0.1)
best_points, best_distance = ga_tsp.run()

可以看出设置种群大小为50，最大迭代次数为500，变异率为0.1。获取最优路径（注意加上起点和终点）并画图：

fig, ax = plt.subplots(1, 2)
best_points_ = np.concatenate([[num_points],best_points,[num_points+1]])
best_points_coordinate = points_coordinate[best_points_, :]
ax[0].plot(best_points_coordinate[:, 0], best_points_coordinate[:, 1], 'o-r')
ax[1].plot(ga_tsp.generation_best_Y)
plt.show()

得到路径图及迭代精度收敛图：

其中左边子图表示路径图，右边子图表示迭代精度收敛图。可以看出迭代超过400次后精度几乎不再下降。同时也给出了最优路径的总长度为19228.8km.

3. 地图可视化

傲天同学已经由遗传算法得出最优路径，可他还是不满意。有没有一种方法能将最优路径表现在地图上呢？经查找资料，傲天同学发现Python库folium可以实现。于是首先安装库pip install folium.

首先计算中心区域。傲天同学将data数据中的经纬度平均值作为中心点。注意到folium要求纬度在前，经度在后，这与我们的数据恰好相反。因此：

from folium import plugins
import folium
# 取经纬度平均值为中心点（注意）folium包要求坐标形式以纬度在前，经度在后
m = folium.Map([np.mean(data['纬度']),np.mean(data['经度'])], zoom_start=10)  #中心区域的确定

由遗传算法得出的最优路径映射到经纬度坐标：

data0=[data.iloc[-1,:]]
data1=np.concatenate([data,data0])
location=np.zeros((num_points+2,2))
#输入坐标点（注意）folium包要求坐标形式以纬度在前，经度在后
for k in range(num_points+2):
    location[k,0]=data1[best_points_[k],-1]
    location[k,1]=data1[best_points_[k],1]

将坐标用线段连接：

route = folium.PolyLine(    #polyline方法为将坐标用线段形式连接起来
    location,    #将坐标点连接起来
    weight=3,  #线的大小为3
    color='orange',  #线的颜色为橙色
    opacity=0.8    #线的透明度
).add_to(m)    #将这条线添加到刚才的区域m内
m.save(os.path.join(mypath+'\\'+'Heatmap1.html'))  #将结果以HTML形式保存

得到路线的热力图如：