彭丑丑

V1

2022/11/08阅读:20主题:山吹

为什么你学不会递归?谈谈我的经验

本文已收录到  GitHub · AndroidFamily,有 Android 进阶知识体系,欢迎 Star。技术和职场问题,请关注公众号 [彭旭锐] 进 Android 面试交流群。

前言

大家好,我是小彭。

今天分享到计算机科学中一个基础又非常重要的概念 —— 递归。递归是计算机中特有的概念,你很难在现实世界中找到一个恰当的例子与之关联起来。因此,对于很多初学编程的人,一开始会很难理解。

那么,究竟什么是递归,我们为什么要使用递归?我们今天就围绕这两个问题展开。


学习路线图:


1. 什么是递归?

递归(Recursion)是一种通过 “函数自己调用自己” 的方式,将问题重复地分解为同类子问题,并最终解决问题的编程技巧。

举个例子,要求一个数 的阶乘 ,有 2 种思考问题的思路:

  • 递推(一般思维): 我们从 开始,用 乘以 得到 问题的解,用 乘以 得到 问题的解。依次类推,直到用 乘以 得到原问题 的解。这就是用递推解决问题,这是相对简单直接的思考方式;
  • 递归(计算机思维): 我们把 的问题拆分为一个 的问题,如果我们知道 的解,那么将它乘以 就可以得出 的解。以此类推,我们将一个 的问题拆分为同类型的规模更小的 子问题,直到拆分到无法拆分,可以直接得出结果 问题。此时,我们再沿着拆分问题的路径,反向地根据子问题的解求出原问题的解,最终得到原问题 的结果。这就是用递归解决问题。

求 n!

从这个例子可以看出, 递归其实是在重复地做 2 件事:

  • 1、自顶向下拆分问题: 从一个很难直接求出结果的、规模较大的原问题开始,逐渐向下拆分为规模较小的子问题(从 拆分到 ),直到拆分到问题边界时停止拆分,这个拆分的过程就是 “递”(问题边界也叫基准情况或终止条件);
  • 2、自底向上组合结果: 从问题边界开始,逐渐向上传递并组合子问题的解(从 得到 ),直到最终回到原问题获得结果,这个组合的过程就是 “归”。

看到这里你会不会产生一个疑问: 我们直接从问题边界 一层层自底向上组合结果也可以得到 的解,自顶向下拆分问题的过程显得没有必要。确实,对于对于这种原问题与子问题只是 “线性” 地减少一个问题规模的情况,确实是这样。但是对于很多稍微复杂一些的问题,原问题与子问题会构成一个树型的 “非线性” 结构,这个时候就适合用递归解决,很难用递推解决。

举个例子, 求斐波那契数列,这个问题同时也是 LeetCode 上的一道典型例题:LeetCode · 509. 斐波那契数:该数列从 开始,每一项数字都是前面两项数字的和。

LeetCode 例题

虽然,我们可以利用递推的方式从 自底向上推导出 的解,但是这种非线性的方式在编程语言中很难实现,而使用递归的方式自顶向下地解决问题,在编码上是很容易实现的。

当然,这段代码中存在非常多的重复计算,最终使得整个算法的时间复杂度达到惊人的指数级 。例如在计算 的时候, 就被重复计算 2 次,这种重复计算完全相同的子问题的情况就叫 重叠子问题 ,以后我们再专门讨论。

用递归解决斐波那契数列

用递归解决(无优化)

class Solution {
    fun fib(N: Int)Int {
        if(N == 0){
            return 0
        }
        if(N == 1){
            return 1
        }
        // 拆分问题 + 组合结果
        return fib(N - 1) + fib(N - 2)
    }
}

2. 递归的解题模板

  • 1、判断当前状态是否异常,例如数组越界,n < 0 等;
  • 2、判断当前状态是否满足终止条件,即达到问题边界,可以直接求出结果;
  • 3、递归地拆分问题,缩小问题规模;
  • 4、组合子问题的解,结合当前状态得出最终解。
fun func(n){
    // 1. 判断是否处于异常条件
    if(/* 异常条件 */){
        return
    }
    // 2. 判断是否满足终止条件(问题边界)
    if(/* 终止条件 */){
        return result
    }
    // 3. 拆分问题
    result1 = func(n1)
    result2 = func(n2)
    ...
    // 4. 组合结果
    return combine(result1, result2, ...)
}

3. 计算机如何实现递归?

递归程序在解决子问题之后,需要沿着拆分问题的路径一层层地原路返回结果,并且后拆分的子问题应该先解决。这个逻辑与栈 “后进先出” 的逻辑完全吻合:

  • 拆分问题: 就是一次子问题入栈的过程;
  • 组合结果: 就是一次子问题出栈的过程。

事实上,这种出栈和入栈的逻辑,在编程语言中是天然支持的,不需要程序员实现。程序员只需要维护拆分问题和组合问题的逻辑,一次函数自调用和返回的过程就是一次隐式的函数出栈入栈过程。在程序运行时,内存空间中会存在一块维护函数调用的区域,称为 函数调用栈 ,函数的调用与返回过程,就天然对应着一次子问题入栈和出栈的过程:

  • 调用函数: 程序会创建一个新的栈帧并压入调用栈的顶部;
  • 函数返回: 程序会将当前栈帧从调用栈栈顶弹出,并带着返回值回到上一层栈帧中调用函数的位置。

我们在分析递归算法的空间复杂度时,也必须将隐式的函数调用栈考虑在内。


4. 递归与迭代的区别

递归(Recursion)和迭代(Iteration)都是编程语言中重复执行某一段逻辑的语法。

语法上的区别在于:

  • 迭代: 通过迭代器(for/while)重复执行某一段逻辑;
  • 递归: 通过函数自调用重复执行函数中的一段逻辑。

核心区别在于解决问题的思路不同:

  • 迭代:迭代的思路认为只要从问题边界开始,在所有元素上重复执行相同的逻辑,就可以获得最终问题的解(迭代的思路与递推的思路类似);
  • 递归:递归的思路认为只要将原问题拆分为子问题,在每个子问题上重复执行相同的逻辑,最终组合所有子问题的结果就可以获得最终问题的解。

例如, 在计算 n! 的问题中,递推或迭代的思路是从 1! 开始重复乘以更大的数,最终获得原问题 n! 的解;而递归的思路是将 n! 问题拆分为 (n-1)! 的问题,最终通过 (n-1)! 问题获得原问题 n! 的解。

再举个例子,面试中出现频率非常高的反转链表问题,同时也是 LeetCode 上的一道典型例题:LeetCode 206 · 反转链表。假设链表为 1 → 2 → 3 → 4 → ∅,我们想要把链表反转为 ∅ ← 1 ← 2 ←3 ←4,用迭代和递归的思路是不同的:

  • 迭代: 迭代的思路认为,只要重复地在每个节点上处理同一个逻辑,最终就可以得到反转链表,这个逻辑是:“将当前节点的 next 指针指向前一个节点,再将游标指针移动到后一个节点”。
  • 递归: 递归的思路认为,只要将反转链表的问题拆分为 “让当前节点的 next 指针指向后面整段子链的反转链表”,在每个子链表上重复执行相同的逻辑,最终就能够获得整个链表反转的结果。

这两个思路用示意图表示如下:

示意图

迭代题解

class Solution {
    fun reverseList(head: ListNode?): ListNode? {
        var cur: ListNode? = head
        var prev: ListNode? = null

        while (null != cur) {
            val tmp = cur.next
            cur.next = prev
            prev = cur
            cur = tmp
        }
        return prev
    }
}

迭代解法复杂度分析:

  • 时间复杂度:每个节点扫描一次,时间复杂度为 
  • 空间复杂度:使用了常量级别变量,空间复杂度为 

递归题解

class Solution {
    fun reverseList(head: ListNode?): ListNode? {
        if(null == head || null == head.next){
            return head
        }
        val newHead = reverseList(head.next)
        head.next.next = head
        head.next = null
        return newHead
    }
}

递归解法复杂度分析:

  • 时间复杂度:每个节点扫描一次,时间复杂度为 
  • 空间复杂度:使用了函数调用栈,空间复杂度为 

理论上认为迭代程序的运行效率会比递归程序更好,并且任何递归程序(不止是尾递归,尾递归只是消除起来相对容易)都可以通过一个栈转化为迭代程序。但是,这种消除递归的做法实际上是以牺牲程序可读性为代价换取的,一般不会为了运行效率而刻意消除递归。

不过,有一种特殊的递归可以被轻松地消除,一些编译器或运行时会自动完成消除工作,不需要程序员手动消除,也不会破坏代码的可读性。


5. 尾递归

在编程语言中,尾调用是指在一个函数的最后返回另一个函数的调用结果。如果尾调用最后调用的是当前函数本身,就是尾递归。为什么我们要专门定义这种特殊的递归形式呢?因为尾递归也是尾调用,而在大多数编程语言中,尾调用可以被轻松地消除 ,这使得程序可以模拟递归的逻辑而又不损失性能,这叫 尾递归优化 / 尾递归消除 。例如,以下 2 段代码实现的功能是相同的,前者是尾递归,而后者是迭代。

尾递归

fun printList(itr : Iterator<*>){
    if(!itr.hasNext()) {
        return
    }
    println(itr.next())
    // 尾递归
    printList(itr)
}

迭代

fun printList(itr : Iterator<*>){
    while(true) {
        if(!itr.hasNext()) {
            return
        }
        println(itr.next())
    }
}

可以看到,使用一个 while 循环和若干变量消除就可以轻松消除尾递归。


6. 总结

到这里,相信你已经对递归的含义以及递归的强大之处有所了解。 递归是计算机科学中特有的解决问题的思路:先通过自顶向下拆分问题,再自底向上组合结果来解决问题。这个思路在编程语言中可以用函数自调用和返回实现,因此递归在编程实现中会显得非常简洁。 正如图灵奖获得者尼克劳斯·维尔特所说:“递归的强大之处在于它允许用户用有限的语句描述无限的对象。因此,在计算机科学中,递归可以被用来描述无限步的运算,尽管描述运算的程序是有限的。”

另外,你会发现 “先拆分问题再合并结果” 的思想与 “分治思想” 相同,那么你认为递归和分治是等价的吗?这个我们下回说。


发现一个 Google 的小彩蛋:在 Google 搜索里搜索 “递归”,提示词里会显示 “您是不是要找:递归”。这就会产生递归的效果的,因为点击提示词 “递归” 后,还是会递归地显示 “您是不是要找:递归”。哈哈,应该是 Google 跟程序员开的小玩笑。


参考资料

分类:

移动端开发

标签:

Android

作者介绍

彭丑丑
V1