数学符号那些事（三）：算术

数学符号那些事（三）：算术

1 前言

之前的数理逻辑符号和集合论符号出现得相对比较晚，对于部分孩子来说有一点抽象。但下面介绍的算术符号基本上是大家从小学开始就接触的符号，而且在历史上的出现也是相对较早的。

2 算术符号

2.1 “ ”

这十个阿拉伯数码是大部分人最早接触的数学符号了，几乎从幼儿园就开始学习它们了。阿拉伯数码的含义我相信也无需多加解释，所有人都明白。大约在公元5世纪，印度首次出现了包含零符号的十进制位值制数码。经阿拉伯人的商路传播到欧洲，进而传播到全世界。

其实，阿拉伯数码在十世纪左右也曾传入过中国，但被国内主流所抛弃。再次传入中国，就是鸦片战争之后的事了。1874年美国传教士吴思明的《西算启蒙》正式出版，书中大量使用了阿拉伯数码。另外还有一则清朝官员记录的趣闻。在清朝科举改革之后，有学子在算术考试中使用了阿拉伯数字回答问题。考官辱骂其蛮夷之心而赶出考场，最终导致学子发疯，自杀而亡。

2.2 “ ”

这一组符号可以认为是等价关系符号。在符号的形状上来说，也具有一定的对称性。

等号 自然是相等的意思。用两条横线表示相等最早出自英国数学家雷克德(R.Recorde)于1557年的著作《智慧的磨刀石》。不等号 就是在等号的基础上加斜线以表示相反的意识。

约等号 表示近似相等，两者虽不完全相等但又差距不大的含义。恒等号 则表示的是无论何种情况，两者都完全相等。不过，恒等号在数论中表示同余的含义，这是数学家高斯的首创。

定义等号 表示这是定义式，按定义两者相等。更多情况下，它可以简写为 。正比符号 表示两者成正比关系，如 就表示存在一个数 使得 。相当于符号 一般出现在自然科学以及工程学中。一个实际的例子就是 。

2.3 “ ”

这一组符号是一组顺序关系符号。符号的形状具有不对称性。小于号 和大于号 最早出自英国数学家哈里奥特(T.Harriot)于1631年的《分析术实例》。小于等于号和大于等于号则由法国数学家布格(P.Bouguer)于1734年首次使用。远大于号和远小于号则出现得更晚。远小于号 由法国数学家庞加莱于1901年引入，而远大于号则由法国数学家波莱尔(E.Borel)于1901年引入。另外，远大于和远小于在数学上并没有明确的定于。在工程实际中，如果 ，一般就认为 远小于 ，即 。

2.4 “ ”

这些符号是运算符。加号 和减号 最早出现在德国数学家维德曼(J.Widmann)于1489年的《用于商业的速算法》。荷兰数学家吉拉尔(A.Girard)于1629年首次将减号作为负号。英国数学家奥特雷德(W.Oughtred)在1631年出版的《数学入门》中首次出现了乘号 。除号 相对晚一些，最早出现在瑞士数学家雷恩(J.h.Rahn)于1659年的《优雅的代数》一书中。斜分数线 是最晚的，英国数学家德摩根(A.De Morgan)于1845年的《函数计算》一书中引入。与之截然不同的是，分数线 最早是由阿拉伯数学家阿尔·海塞尔 (Al-Hassar)于1175年引入的，他的书中首次出现了 这样的表达方式。

2.5 “ ”

德国数学家克拉维斯(C.Clavius)于1593年的《星盘》首次使用了小数点 。而 则表示小数的循环节，如 。长除法符号的出现则是十九世纪的事了。数学家温斯特沃(G.A.Wentworth)于1888年的《代数原本》教师版中首次使用了长除法符号。

2.6 “ ”

这几个符号与组合数学有紧密的联系，所以我把它们放在一组了。指数的表示方式 最早由法国数学家笛卡尔(R.Descartes)于1637年引入。求和符号 由瑞士数学家欧拉(L.Euler)于1755年引入。求积符号 由德国数学家高斯(C.F.Gauss)于1812年引入。求和符号和求积符号是最常见的大型运算符了，例如

阶乘符号 由德国数学家克拉姆普 (C.Kramp)于1808年引入。阶乘由乘法定义

组合符号 由法国数学家格尔索尼德(L.Gersonid)于1321年的《计算者的书》。组合符号也可以称为二项式系数。排列符号 是最晚的，直到1886年美国数学家惠特沃斯才首次使用。排列和组合都可以通过阶乘来定义

2.7 " "

算术的研究对象主要在有理数域中。这三个符号分别表示自然数集 ，整数集 ，有理数集 。

2.8 “ ”

表示的是 的最大值。类似地， 表示的是 的最小值。 为数 的绝对值或者模，也可以用 表示。 表示小于或等于 的最大整数，部分书籍上用 表示。

2.9 “ ”

表示的是 的最大公约数。类似地， 表示的是 的最小公倍数。 表示 的余数。在 时， 在编程语言中也写成 。前面提到的同余符号 常常与 一起使用，如 。 表示 的余数为零，或者说 可以被 整除。

3 后记

在算术领域，我暂时只能想到这么多常用的数学符号。另外，数论部分还有几个函数，如莫比乌斯函数 、欧拉函数 。这些在其他领域中不常见，因此上文没有提及。最后，再接下来一段时间，容我再托更一会吧。