增长的最优系数分布

在前文中，我们论述了在指定生产矩阵的条件下，如何确定初始化资源比例，以及在这种比例下增长会如何发生。

本文将这个过程反过来，尝试解决在给定初始条件和期望增长的前提下，如何选择生产方程的问题。

增长的最优系数^[1]
- 问题抽象^[2]
- 约束和求解^[3]
- 附录^[4]
  - 生产矩阵的生成代码^[5]
  - 全正性的证明^[6]

问题抽象

在已知一个向量和值的条件下，求解生产矩阵B，使其满足

我们稍微将结论提前，就是说我们可以得到大量的满足条件的生产矩阵。如果你是生产规划者，那么总能够在大量的生产选择中选择比较适合的生产矩阵，使其满足现有初始条件和预期增长率。

约束和求解

我们当然需要生产矩阵的系数全为正实数，但不再需要x是B的特征向量。因此，问题可以进一步被简化成寻找非奇异矩阵和对角阵，使其满足如下线性方程组

我们无意求解这个方程组，因为显然它有无穷多个可行解。在此只是给出一个可行的矩阵生成方案。在该方案中，我们可以通过简单的证明过程说明生产矩阵的全正约束得到保证。在此求解方法下，我们可以生成大量的可行解，并将它们的分布绘制在一张图上，图的横坐标代表生产一个单位的 A 或 B 资源需要消耗多少单位的对应资源。开源代码可见我的前端笔记本

Generating the Optimized Production Matrix^[7]

总体上看，生成 A 和 B 资源的生产消耗更多的自身和更少的对方，这是符合直观感受的结果，这导致 A 和 B 资源的产能总是处于对角线的下方和上方。当 B 资源相对较少时，是影响增长的主要因素，因此它的变化范围也较小（如左图所示）；而当 B 资源相对较为丰富时，它的变化范围开始变大（如右图所示）。

需求的增长率越大，则这些点越靠近原点，因为消耗的资源更少（见左图）；需求的增长率越小，则这些点越靠近右上角，代表资源不断更新但产量增长缓慢（见右图）。

附录

生产矩阵的生成代码

/**
 * Generate useable mat
 * Generate the 2 x 2 matrix given one eigenvector and value.
 * The other eigenvector and value is randomly matched to make sure
 * the output matrix has positive values.
 */

mkMat = () => {
  const c = Math.sqrt(Ipt.ResourceA ** 2 + Ipt.ResourceB ** 2);

  const vectors = [
    [-math.random(0.2, 0.8), Ipt.ResourceA / c],
    [math.random(0.2, 0.8), Ipt.ResourceB / c]
  ];

  const values = [
    [(1 / Ipt.GrowthRate) * math.random(0.2, 0.8), 0],
    [0, 1 / Ipt.GrowthRate]
  ];

  const inv = math.inv(vectors);

  const mat = math.multiply(math.multiply(vectors, values), inv);

  const mul = math.multiply(vectors, math.transpose(vectors));

  return { vectors, inv, mul, mat };
}

全正性的证明

试证如下方程

其中，全部变量均为正实数时全为正实数，且。由于矩阵非奇异，因此总有下式成立

在进行列变换后，可以变换成

对于矩阵J来讲，列变换不改变对角线上的符号，然而在对角线外，列变换相当于减少了负数项，增加了正数项，因此保证了J的所有系数均为正。

证明毕。

参考资料

[1]

增长的最优系数: #增长的最优系数

[2]

问题抽象: #问题抽象

[3]

约束和求解: #约束和求解

[4]

附录: #附录

[5]

生产矩阵的生成代码: #生产矩阵的生成代码

[6]

全正性的证明: #全正性的证明

[7]

Generating the Optimized Production Matrix: https://observablehq.com/@listenzcc/generating-the-optimized-production-matrix