试卷综述

本套试卷总计10道题，三角方面有两道题，立几方面有两道题，几何证明方面两道题，复数一道，具体如下图：

「亮点试题」

第一题，现在仍然是一个考察重点，三角函数弦切互化；
第六题，和差化积公式，这是第一次出现在高考题目中，也代表着和差化积公式会成为一个考点；
第十题，利用轴截面，将立体图形平面化，最后一问是考察函数的最值问题，立几与函数相结合起来。

有训练价值的问题及适用范围

「先睹为快」

1.已知 ,求的值

4.在一个二面角内有一点，过这点分别作两个平面的垂线，求证棱垂直于这两条垂线所决定的平面

6.解方程

8.已知1、2、3、4、7、9六个数，
（1）可以组成多少没有重复数字的五位数；
（2）其中有多少个是偶数;
（3）其中有多少个是3的倍数。

10.半径为1的球内切于圆锥(直圆锥)，已知圆锥母线与底面夹角为
(1)求证：圆锥的母线与底面半径的和是
(2)求证：圆锥全面积是
(3)当是什么值时，圆锥的全面积最小？

正文

1.已知 ,求的值
【解题笔记】把式子的分子分母同除以，把弦化为切，利用这个方法时候一定要注意分子分母是次数是一致的。

2.已知复数
(1)求它的模及辐角;
(2)作出图，把这图反时针方向转，求这时的复数
【解题笔记】（1）复数模的计算，，可以看作平面向量，将其实部和虚部分别看作直角坐标系下的水平分量和铅垂分量，则，就是说，复数的辐角正切值为纵坐标与横坐标的比值（横坐标不为零的情况下）；
（2）直接在复平面内画出图形，模长为2，辐角旋转后就变为，再解直角三角形可以求出横纵坐标。

3.如图，为半圆的直径，，，，求

【解题笔记】射影定理

4.在一个二面角内有一点，过这点分别作两个平面的垂线，求证棱垂直于这两条垂线所决定的平面
【解题笔记】根据题意画出图形：

线面垂直的判定定理

线面垂直类似题
- 1958·全国·4 求证:正四面体ABCD中相对的两棱（即异面的两棱）互相垂直

5.根据对数表求的值
【解题笔记】利用对数运算性质先得到，再根据常用数表上查出的值即可

6.解方程
【解题笔记】

法一硬算三倍角公式展开，倍角公式展开，全部转化为关于的高次方程，再对高次方程求解即可。法二和差化积公式利用和差化积公式，此处 , 代入求解即可。
现行高中数学已经将和差化积公式进行删除，作为教材中的例题或者课后练习了，在普通高中数学教材（2019）人教A版必修第一册第225页就有，截图如下：

后续的三组就在通高中数学教材（2019）人教A版必修第一册第226页的练习中出现，截图如下：

在现行高考题中有很多时候可以使用积化和差与和差化积公式，达到计算简便的效果，由于三角函数中的公式众多，渐渐的就将很多三角函数公式从高中数学教材中剔除了。这些部分的内容在竞赛和强基计划里面有涉及，对学有余力的同学，可以去掌握这组公式。

解三角方程类似题
- 1951年第12题的通解是什么？
- 1952年第14题方程的通解x=？
- 1953年第6题若 ,求的值。
- 1954年第9题试由 ,求的通值。
- 1955年第7题解方程 ,求的通值
- 1958·全国·5 求解

7.在实数范围内解

【解题笔记】对平方，得到新的方程，之后与方程消去常数，得到关于的关系

同类试题
- 1953年第10题解
- 1956年第6题解方程组
- 1957·全国·6 解方程组

8.已知1、2、3、4、7、9六个数，
（1）可以组成多少没有重复数字的五位数；
（2）其中有多少个是偶数;
（3）其中有多少个是3的倍数。
【解题笔记】简单的排列组合问题，第一问，全排问题；第二问，对特殊位置先考虑；第三问，组成数字之和必须是3的倍数。

类似题目
- 1951·全国·5 试题10道，选答8道，则选法有几种？
- 1960·全国·2 有5组蓝球队，每组6队，首先每组中各队进行单循环赛（每两队赛一次），然后各组冠军再进行单循环赛，问先后比赛多少场？

9.已知与圆相交于、，，，为圆的切线,求证：
【解题笔记】根据题意画图如下：

由切割线定理及题目已知可以推出： ,又有对顶角及直角，可以推出结论。

10.半径为1的球内切于圆锥(直圆锥)，已知圆锥母线与底面夹角为
(1)求证：圆锥的母线与底面半径的和是
(2)求证：圆锥全面积是
(3)当是什么值时，圆锥的全面积最小？
【解题笔记】（1）根据题意作过球心与圆锥底面的中心作一平面与圆锥和球的截面如图一个轴截面如下：

立体几何问题就转化为平面几何问题，可以知道是一个底角等于的等腰三角形那么，去求解三角形即可；
（2）利用第一问的结果可以求解出；
（3）求解第二问的最值问题，转化为求的最小值，这个直接求分母的最大值即可，这个最值可以利用基本不等式，也可以利用二次函数配方。