
淦数学
2022/05/06阅读:24主题:草原绿
1963年高考数学真题
试卷综述
本套试卷总计10道题,三角方面有两道题,立几方面有两道题,几何证明方面两道题,复数一道,具体如下图:

「亮点试题」
第一题,现在仍然是一个考察重点,三角函数弦切互化;
第六题,和差化积公式,这是第一次出现在高考题目中,也代表着和差化积公式会成为一个考点;
第十题,利用轴截面,将立体图形平面化,最后一问是考察函数的最值问题,立几与函数相结合起来。
有训练价值的问题及适用范围

「先睹为快」
1.已知 ,求 的值
4.在一个二面角内有一点,过这点分别作两个平面的垂线,求证棱垂直于这两条垂线所决定的平面
6.解方程
8.已知1、2、3、4、7、9六个数,
(1)可以组成多少没有重复数字的五位数;
(2)其中有多少个是偶数;
(3)其中有多少个是3的倍数。
10.半径为1的球内切于圆锥(直圆锥),已知圆锥母线与底面夹角为
(1)求证:圆锥的母线与底面半径的和是
(2)求证:圆锥全面积是
(3)当
是什么值时,圆锥的全面积最小?
正文
1.已知
,求
的值
【解题笔记】把
式子的分子分母同除以
,把弦化为切,利用这个方法时候一定要注意分子分母是次数是一致的。
2.已知复数
(1)求它的模及辐角;
(2)作出图,把这图反时针方向转
,求这时的复数
【解题笔记】(1)复数模的计算,
,可以看作平面向量,将其实部和虚部分别看作直角坐标系下的水平分量和铅垂分量,则
,就是说,复数的辐角正切值为纵坐标与横坐标的比值(横坐标不为零的情况下);
(2)直接在复平面内画出图形,模长为2,辐角旋转后就变为
,再解直角三角形可以求出横纵坐标。
3.如图, 为半圆的直径, , , ,求

【解题笔记】射影定理
4.在一个二面角内有一点,过这点分别作两个平面的垂线,求证棱垂直于这两条垂线所决定的平面
【解题笔记】根据题意画出图形:

线面垂直的判定定理
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线面垂直类似题 -
1958·全国·4 求证:正四面体ABCD中相对的两棱(即异面的两棱)互相垂直
-
5.根据对数表求
的值
【解题笔记】利用对数运算性质先得到
,再根据常用数表上查出
的值即可
6.解方程
【解题笔记】
现行高中数学已经将和差化积公式进行删除,作为教材中的例题或者课后练习了,在普通高中数学教材(2019)人教A版必修第一册第225页就有,截图如下:

后续的三组就在通高中数学教材(2019)人教A版必修第一册第226页的练习中出现,截图如下:

在现行高考题中有很多时候可以使用积化和差与和差化积公式,达到计算简便的效果,由于三角函数中的公式众多,渐渐的就将很多三角函数公式从高中数学教材中剔除了。这些部分的内容在竞赛和强基计划里面有涉及,对学有余力的同学,可以去掌握这组公式。
-
解三角方程类似题 -
1951年第12题 的通解是什么?
-
1952年第14题 方程 的通解x=?
-
1953年第6题 若 ,求 的值。
-
1954年第9题 试由 ,求 的通值。
-
1955年第7题 解方程 ,求 的通值
-
1958·全国·5 求解
-
7.在实数范围内解
【解题笔记】对 平方,得到新的方程 ,之后与方程 消去常数,得到关于 的关系
-
同类试题 -
1953年第10题 解
-
1956年第6题 解方程组
-
1957·全国·6 解方程组
-
8.已知1、2、3、4、7、9六个数,
(1)可以组成多少没有重复数字的五位数;
(2)其中有多少个是偶数;
(3)其中有多少个是3的倍数。
【解题笔记】简单的排列组合问题,第一问,全排问题;第二问,对特殊位置先考虑;第三问,组成数字之和必须是3的倍数。
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类似题目 -
1951·全国·5 试题10道,选答8道,则选法有几种?
-
1960·全国·2 有5组蓝球队,每组6队,首先每组中各队进行单循环赛(每两队赛一次),然后各组冠军再进行单循环赛,问先后比赛多少场?
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9.已知
与圆
相交于
、
,
,
,
为圆
的切线,求证:
【解题笔记】根据题意画图如下:

由切割线定理及题目已知可以推出: ,又有对顶角及直角,可以推出结论。
10.半径为1的球内切于圆锥(直圆锥),已知圆锥母线与底面夹角为
(1)求证:圆锥的母线与底面半径的和是
(2)求证:圆锥全面积是
(3)当
是什么值时,圆锥的全面积最小?
【解题笔记】(1)根据题意作过球心
与圆锥底面的中心
作一平面与圆锥和球的截面如图一个轴截面如下:

立体几何问题就转化为平面几何问题,可以知道
是一个底角等于
的等腰三角形那么
,去求解三角形即可;
(2)利用第一问的结果可以求解出;
(3)求解第二问的最值问题,转化为求
的最小值,这个直接求分母
的最大值即可,这个最值可以利用基本不等式,也可以利用二次函数配方。
作者介绍
