淦数学

V1

2022/05/06阅读:24主题:草原绿

1963年高考数学真题

试卷综述

  本套试卷总计10道题,三角方面有两道题,立几方面有两道题,几何证明方面两道题,复数一道,具体如下图:

表格来自自己整理
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亮点试题

  第一题,现在仍然是一个考察重点,三角函数弦切互化;
  第六题,和差化积公式,这是第一次出现在高考题目中,也代表着和差化积公式会成为一个考点;
  第十题,利用轴截面,将立体图形平面化,最后一问是考察函数的最值问题,立几与函数相结合起来。

有训练价值的问题及适用范围

表格来自自己整理
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先睹为快

1.已知 ,求 的值

4.在一个二面角内有一点,过这点分别作两个平面的垂线,求证棱垂直于这两条垂线所决定的平面

6.解方程

8.已知1、2、3、4、7、9六个数,
  (1)可以组成多少没有重复数字的五位数;
  (2)其中有多少个是偶数;
  (3)其中有多少个是3的倍数。

10.半径为1的球内切于圆锥(直圆锥),已知圆锥母线与底面夹角为
  (1)求证:圆锥的母线与底面半径的和是
  (2)求证:圆锥全面积是
  (3)当 是什么值时,圆锥的全面积最小?

正文

1.已知 ,求 的值
  【解题笔记】 式子的分子分母同除以 ,把弦化为切,利用这个方法时候一定要注意分子分母是次数是一致的。

2.已知复数
(1)求它的模及辐角;
(2)作出图,把这图反时针方向转 ,求这时的复数
  【解题笔记】(1)复数模的计算, ,可以看作平面向量,将其实部和虚部分别看作直角坐标系下的水平分量和铅垂分量,则 ,就是说,复数的辐角正切值为纵坐标与横坐标的比值(横坐标不为零的情况下);
  (2)直接在复平面内画出图形,模长为2,辐角旋转后就变为 ,再解直角三角形可以求出横纵坐标。

3.如图, 为半圆的直径, ,求

几何画板作图
几何画板作图

  【解题笔记】射影定理

4.在一个二面角内有一点,过这点分别作两个平面的垂线,求证棱垂直于这两条垂线所决定的平面
  【解题笔记】根据题意画出图形:

几何画板作图
几何画板作图

  线面垂直的判定定理

  • 线面垂直类似题
    • 1958·全国·4 求证:正四面体ABCD中相对的两棱(即异面的两棱)互相垂直

5.根据对数表求 的值
  【解题笔记】利用对数运算性质先得到 ,再根据常用数表上查出 的值即可

6.解方程
  【解题笔记】

法一 硬算
  三倍角公式展开,倍角公式展开,全部转化为关于 的高次方程,再对高次方程求解即可。
法二 和差化积公式
  利用和差化积公式 ,此处 , 代入求解即可。
  现行高中数学已经将和差化积公式进行删除,作为教材中的例题或者课后练习了,在普通高中数学教材(2019)人教A版必修第一册第225页就有,截图如下:
电子教材截图
电子教材截图

  后续的三组就在通高中数学教材(2019)人教A版必修第一册第226页的练习中出现,截图如下:

电子教材截图
电子教材截图

  在现行高考题中有很多时候可以使用积化和差与和差化积公式,达到计算简便的效果,由于三角函数中的公式众多,渐渐的就将很多三角函数公式从高中数学教材中剔除了。这些部分的内容在竞赛和强基计划里面有涉及,对学有余力的同学,可以去掌握这组公式。

  • 解三角方程类似题
    • 1951年第12题 的通解是什么?

    • 1952年第14题 方程 的通解x=?

    • 1953年第6题 若 ,求 的值。

    • 1954年第9题 试由 ,求 的通值。

    • 1955年第7题 解方程 ,求 的通值

    • 1958·全国·5 求解

7.在实数范围内解


  【解题笔记】 平方,得到新的方程 ,之后与方程 消去常数,得到关于 的关系

  • 同类试题
    • 1953年第10题 解

    • 1956年第6题 解方程组

    • 1957·全国·6 解方程组

8.已知1、2、3、4、7、9六个数,
  (1)可以组成多少没有重复数字的五位数;
  (2)其中有多少个是偶数;
  (3)其中有多少个是3的倍数。
  【解题笔记】简单的排列组合问题,第一问,全排问题;第二问,对特殊位置先考虑;第三问,组成数字之和必须是3的倍数。

  • 类似题目
    • 1951·全国·5 试题10道,选答8道,则选法有几种?

    • 1960·全国·2 有5组蓝球队,每组6队,首先每组中各队进行单循环赛(每两队赛一次),然后各组冠军再进行单循环赛,问先后比赛多少场?

9.已知 与圆 相交于 为圆 的切线,求证:
  【解题笔记】根据题意画图如下:

几何画板作图
几何画板作图

  由切割线定理及题目已知可以推出: ,又有对顶角及直角,可以推出结论。

10.半径为1的球内切于圆锥(直圆锥),已知圆锥母线与底面夹角为
   (1)求证:圆锥的母线与底面半径的和是
  (2)求证:圆锥全面积是
  (3)当 是什么值时,圆锥的全面积最小?
  【解题笔记】(1)根据题意作过球心 与圆锥底面的中心 作一平面与圆锥和球的截面如图一个轴截面如下:

几何画板作图
几何画板作图

  立体几何问题就转化为平面几何问题,可以知道 是一个底角等于 的等腰三角形那么 ,去求解三角形即可;
  (2)利用第一问的结果可以求解出;
  (3)求解第二问的最值问题,转化为求 的最小值,这个直接求分母 的最大值即可,这个最值可以利用基本不等式,也可以利用二次函数配方。

分类:

数学

标签:

数学基础

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