淦数学
2022/05/06阅读：24主题：草原绿
1963年高考数学真题
试卷综述
本套试卷总计10道题，三角方面有两道题，立几方面有两道题，几何证明方面两道题，复数一道，具体如下图：
「亮点试题」
第一题，现在仍然是一个考察重点，三角函数弦切互化；
第六题，和差化积公式，这是第一次出现在高考题目中，也代表着和差化积公式会成为一个考点；
第十题，利用轴截面，将立体图形平面化，最后一问是考察函数的最值问题，立几与函数相结合起来。
有训练价值的问题及适用范围
「先睹为快」
1.已知 ,求 的值
4.在一个二面角内有一点，过这点分别作两个平面的垂线，求证棱垂直于这两条垂线所决定的平面
6.解方程
8.已知1、2、3、4、7、9六个数，
（1）可以组成多少没有重复数字的五位数；
（2）其中有多少个是偶数;
（3）其中有多少个是3的倍数。
10.半径为1的球内切于圆锥(直圆锥)，已知圆锥母线与底面夹角为
(1)求证：圆锥的母线与底面半径的和是
(2)求证：圆锥全面积是
(3)当
是什么值时，圆锥的全面积最小？
正文
1.已知
,求
的值
【解题笔记】把
式子的分子分母同除以
，把弦化为切，利用这个方法时候一定要注意分子分母是次数是一致的。
2.已知复数
(1)求它的模及辐角;
(2)作出图，把这图反时针方向转
，求这时的复数
【解题笔记】（1）复数模的计算，
，可以看作平面向量，将其实部和虚部分别看作直角坐标系下的水平分量和铅垂分量，则
，就是说，复数的辐角正切值为纵坐标与横坐标的比值（横坐标不为零的情况下）；
（2）直接在复平面内画出图形，模长为2，辐角旋转后就变为
，再解直角三角形可以求出横纵坐标。
3.如图， 为半圆的直径， ， ， ，求
【解题笔记】射影定理
4.在一个二面角内有一点，过这点分别作两个平面的垂线，求证棱垂直于这两条垂线所决定的平面
【解题笔记】根据题意画出图形：
线面垂直的判定定理
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线面垂直类似题 -
1958·全国·4 求证:正四面体ABCD中相对的两棱（即异面的两棱）互相垂直
-
5.根据对数表求
的值
【解题笔记】利用对数运算性质先得到
，再根据常用数表上查出
的值即可
6.解方程
【解题笔记】
现行高中数学已经将和差化积公式进行删除，作为教材中的例题或者课后练习了，在普通高中数学教材（2019）人教A版必修第一册第225页就有，截图如下：
后续的三组就在通高中数学教材（2019）人教A版必修第一册第226页的练习中出现，截图如下：
在现行高考题中有很多时候可以使用积化和差与和差化积公式，达到计算简便的效果，由于三角函数中的公式众多，渐渐的就将很多三角函数公式从高中数学教材中剔除了。这些部分的内容在竞赛和强基计划里面有涉及，对学有余力的同学，可以去掌握这组公式。
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解三角方程类似题 -
1951年第12题 的通解是什么？
-
1952年第14题 方程 的通解x=？
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1953年第6题 若 ,求 的值。
-
1954年第9题 试由 ,求 的通值。
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1955年第7题 解方程 ,求 的通值
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1958·全国·5 求解
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7.在实数范围内解
【解题笔记】对 平方，得到新的方程 ，之后与方程 消去常数，得到关于 的关系
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同类试题 -
1953年第10题 解
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1956年第6题 解方程组
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1957·全国·6 解方程组
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8.已知1、2、3、4、7、9六个数，
（1）可以组成多少没有重复数字的五位数；
（2）其中有多少个是偶数;
（3）其中有多少个是3的倍数。
【解题笔记】简单的排列组合问题，第一问，全排问题；第二问，对特殊位置先考虑；第三问，组成数字之和必须是3的倍数。
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类似题目 -
1951·全国·5 试题10道，选答8道，则选法有几种？
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1960·全国·2 有5组蓝球队，每组6队，首先每组中各队进行单循环赛（每两队赛一次），然后各组冠军再进行单循环赛，问先后比赛多少场？
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9.已知
与圆
相交于
、
，
，
，
为圆
的切线,求证：
【解题笔记】根据题意画图如下：
由切割线定理及题目已知可以推出： ,又有对顶角及直角，可以推出结论。
10.半径为1的球内切于圆锥(直圆锥)，已知圆锥母线与底面夹角为
(1)求证：圆锥的母线与底面半径的和是
(2)求证：圆锥全面积是
(3)当
是什么值时，圆锥的全面积最小？
【解题笔记】（1）根据题意作过球心
与圆锥底面的中心
作一平面与圆锥和球的截面如图一个轴截面如下：
立体几何问题就转化为平面几何问题，可以知道
是一个底角等于
的等腰三角形那么
，去求解三角形即可；
（2）利用第一问的结果可以求解出；
（3）求解第二问的最值问题，转化为求
的最小值，这个直接求分母
的最大值即可，这个最值可以利用基本不等式，也可以利用二次函数配方。
作者介绍