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2022/10/29阅读:21主题:默认主题

A-0-1微元与小量

0.1.1 极限与微元

所谓微元法,是当物理量变化极小时,研究各自的关系,研究运动时,可以是一小段时间/位移,研究受力时,可以是一小段物体/质量。

高中第一次接触微元法,是在运动学,瞬时速度的定义。在数学上,当运动时间足够短时,某点附近的平均速度就严格等于该点的瞬时速度。

在运动学中,一旦我们取了一个极短的过程,就可以将曲线运动暂时看成直线运动,可以将匀变速直线运动暂时看成匀速直线运动,将变加速运动暂时看成匀加速运动,原因在于无穷小量的近似。

0.1.2 无穷小量的阶数:

同阶无穷小和等价无穷小

都是趋近于0的小量,当  时,我们认为 差不多,称为同阶无穷小。特殊的,当c=1时, 称为 的等价无穷小。

高阶无穷小和低阶无穷小

,我们认为称α是β的高阶无穷小,

同理,当 时, 称为 的低阶无穷小,

特殊的,当 时, 称为 阶无穷小。

习惯上,  时,  称为一阶无穷小,同理, 称为二阶无穷小。

0.1.3 物竞中常见等价无穷小

  1. ;

简单证明:如下图,三者分别对应 的长度,

时,三者重合相等。

  1. ;

证明:

  1. ;

证明:利用广义二项式定理,

  1. ;

证明:利用 定义 可得。

0.1.4 小量计算

1.高阶小量舍去

一般情况下,高阶无穷小量可以直接舍去。

比如在计算匀变速直线运动时,当  ,初速度为 ,末速度为 。对应位移 满足

由于 的高阶无穷小量,可以忽略不计,

所以 ,可看成匀速直线运动。

同理, 时,我们可以将曲线运动看成直线运动,可以将变加速运动看成匀加速运动。

2.保留一阶小量

另外一些情况,题目要求保留到一阶无穷小量时,可以利用一阶等价无穷小,将二阶及以上的无穷小量舍去。比如化简

舍去

3.保留二阶以上小量

当要求保留到二阶以上的无穷小量时,我们可以利用泰勒级数求:

0.1.5微元法在运动学的应用

1.微元求和

在推导匀变速直线运动位移公式的时候,我们可以将图像下方的面积分割为若干个矩形面积,矩形面积即代表匀速直线运动的位移。从而可以看成把匀变速直线运动分解为若干个匀速直线运动,则直线下方面积就等于整段过程的位移。

由小量运算可知:若干个矩形的面积之和与直线下方面积之间的差值为一阶小量,从而可以舍去。

2.求瞬时加速度

推导匀速圆周运动的向心加速度。

如下图,当角度 足够小时, 可以看成线段

从而

由对应边比值相等得

3.求瞬时速度

如下图, 环静止不动, ,当 环以速度 沿连心线方向向右运动,求两环交点C的速度大小

当时间足够短时, 点附近的平均速度就等于 点的瞬时速度。我们在上面已经分析过,当运动时间 足够短时,环和交点的运动均可以看成匀速直线运动。其中环从 点移动到 点,位移 ,交点从 移动到 点,位移

由图可知 为等腰三角形,且 ,故 ,即

4.列微分方程

质点沿半径为R 的圆周运动,初速度的大小为 .在运动过程中,质点的切向加速度与法向加速度大小恒相等,已知质点速率持续增大,求经时间T质点的速度v .

在这道题中,我们可以研究一段短时间内质点的运动,切向加速度等于法向加速度,则 ,分离变量得 ,两边同时积分得, ,即 ,所以

0.1.6练习

蚂蚁离开巢沿直线爬行,它的速度与到蚁巢中心的距离成反比。当蚂蚁爬到距巢中心 的A点处时,速度是 。试求蚂蚁继续由A点爬到距巢中心 点需要多长的时间

答案:75s.

如图所示,一平面内有两根细杆 ,各自以垂直于自己的速率 运动,求交点相对于 的运动速率 .

答案:

如图所示,用不可伸长的轻线把小球拴在静止的半径为 的圆柱体上,起初这样缠线:使球与圆柱体相切,在某一时刻使球沿半径方向具有速度 ,于是线开始松开。试求经时间 ,松开部分线的长度 .

答案:

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