A-0-1微元与小量

0.1.1 极限与微元

所谓微元法，是当物理量变化极小时，研究各自的关系，研究运动时，可以是一小段时间/位移，研究受力时，可以是一小段物体/质量。

高中第一次接触微元法，是在运动学，瞬时速度的定义。在数学上，当运动时间足够短时，某点附近的平均速度就严格等于该点的瞬时速度。

在运动学中，一旦我们取了一个极短的过程，就可以将曲线运动暂时看成直线运动，可以将匀变速直线运动暂时看成匀速直线运动，将变加速运动暂时看成匀加速运动，原因在于无穷小量的近似。

0.1.2 无穷小量的阶数：

同阶无穷小和等价无穷小

设 ， 都是趋近于0的小量，当  时，我们认为 和 差不多，称为同阶无穷小。特殊的，当c=1时， 称为 的等价无穷小。

高阶无穷小和低阶无穷小

当 ，我们认为称α是β的高阶无穷小，

同理，当 时， 称为 的低阶无穷小，

特殊的，当 时， 称为 的 阶无穷小。

习惯上，  时，  称为一阶无穷小，同理， 称为二阶无穷小。

0.1.3 物竞中常见等价无穷小

1. ;

简单证明：如下图，三者分别对应 、 、 的长度，

当 时，三者重合相等。

2. ;

证明：

3. ;

证明：利用广义二项式定理，

4. ;

证明：利用 定义 可得。

0.1.4 小量计算

1.高阶小量舍去

一般情况下，高阶无穷小量可以直接舍去。

比如在计算匀变速直线运动时，当  ，初速度为 ，末速度为 。对应位移 满足 ，

由于 是 的高阶无穷小量，可以忽略不计，

所以 ，可看成匀速直线运动。

同理， 时，我们可以将曲线运动看成直线运动，可以将变加速运动看成匀加速运动。

2.保留一阶小量

另外一些情况，题目要求保留到一阶无穷小量时，可以利用一阶等价无穷小，将二阶及以上的无穷小量舍去。比如化简 ：

舍去 得

3.保留二阶以上小量

当要求保留到二阶以上的无穷小量时，我们可以利用泰勒级数求：

0.1.5微元法在运动学的应用

1.微元求和

在推导匀变速直线运动位移公式的时候，我们可以将图像下方的面积分割为若干个矩形面积，矩形面积即代表匀速直线运动的位移。从而可以看成把匀变速直线运动分解为若干个匀速直线运动，则直线下方面积就等于整段过程的位移。

由小量运算可知：若干个矩形的面积之和与直线下方面积之间的差值为一阶小量，从而可以舍去。

2.求瞬时加速度

推导匀速圆周运动的向心加速度。

如下图，当角度 足够小时， 可以看成线段 ，

从而 ， ，

由对应边比值相等得 ，

即 。

3.求瞬时速度

如下图， 环静止不动， ，当 环以速度 沿连心线方向向右运动，求两环交点C的速度大小 。

当时间足够短时， 点附近的平均速度就等于 点的瞬时速度。我们在上面已经分析过，当运动时间 足够短时，环和交点的运动均可以看成匀速直线运动。其中环从 点移动到 点，位移 ，交点从 移动到 点，位移 。

由图可知 为等腰三角形，且 ，故 ，即 ， 。

4.列微分方程

质点沿半径为R 的圆周运动，初速度的大小为 .在运动过程中，质点的切向加速度与法向加速度大小恒相等，已知质点速率持续增大，求经时间T质点的速度v .

在这道题中，我们可以研究一段短时间内质点的运动，切向加速度等于法向加速度，则 ，分离变量得 ，两边同时积分得， ，即 ，所以

0.1.6练习

蚂蚁离开巢沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离成反比。当蚂蚁爬到距巢中心 的A点处时，速度是 。试求蚂蚁继续由A点爬到距巢中心 的 点需要多长的时间 ？

答案：75s.

如图所示，一平面内有两根细杆 和 ，各自以垂直于自己的速率 和 运动，求交点相对于 的运动速率 .

答案：

如图所示，用不可伸长的轻线把小球拴在静止的半径为 的圆柱体上，起初这样缠线：使球与圆柱体相切，在某一时刻使球沿半径方向具有速度 ，于是线开始松开。试求经时间 ，松开部分线的长度 .

答案：