Green-Tao 定理的证明 (2): Von Neumann 定理的推广

我们接下来要说明 Gowers 范数可以在一定程度上控制等差数列的数量. 回顾一下, 我们可以使用如下的量来表征等差数列:

定理 2.1 设 为 阶伪随机测度. 令 为 上满足以下条件的实函数: 任给 , ,

则

其中 是 中连续 个整数的重排.

注意到 和 都可以经过重排, 不妨设 在 取到; 而 可以平移为 , 所以还可以假设 .

不妨先来看看 , 的情形. 我们现在要证明

接下来我们将会看到把 变量代换为 会带来一些方便. 这时候要估计的量变为

第一步, 对 使用控制条件,

再使用 Cauchy-Schwarz 不等式, 就得到

这里我们记

现在估计 , 首先把 的平方项展开, 然后重复上面步骤 (先用 控制 , 再使用 Cauchy-Schwarz 不等式):

于是我们得到 , 其中

把 代换为 , 那么 中只含 的部分便是 的 Gowers 范数.

其中

那么

我们将证明上面的量很小. 再一次用 控制 并使用 Cauchy-Schwarz 不等式:

其中

接下来我们将使用线性型条件: 注意到 为 -线性型, 首先用 -线性型条件:

而由 -线性型条件可知

最后,

可由 -线性型条件导出. 于是展开平方就得到

所以

回到最初的式子就得到