Evans PDE书中的微积分技巧（一）积分下互换Laplace算子

最近在看Lawrence C. Evans的PDE。这本书的一大特点就是写的非常简洁，以至于我常看不懂其中省略的的一些步骤。于是常常在知乎上找这本书的相关笔记，没想到各位大佬的笔记也是非常简洁。事实上，这本书是一本绝佳的多元微积分练习册。在我努力搞明白一些省略的步骤中，还是发现了一些非常有意思的多元微积分技巧，于是我准备用一系列文章记录下来，在这里和大家分享。本人数学水平有限，文章中出现的错误欢迎大家指正批评！

引言

我们从分部积分公式（Integration by parts）开始。对任意两个可微的函数 u,v ，成立 . 因此得到分部积分公式

在偏微分方程的相关计算中，函数常常满足某种边界条件，使边界项为 ，因此有 对于拉普拉斯算子（Laplace operator），即 ，在一定的条件下，是否也有类似的 呢？

问题提出

（本段为书中内容的回顾，可跳过）

提出这个问题是因为在Heat equation中Theorem 2（非齐次问题的解）的证明中，我们需要验证非齐次热方程的解。我们省略证明前后内容，只看涉及到的证明过程。函数 ，我们假设 且f 有紧支撑（compact support）（这是一个关键条件），即 f 的支撑集是一个紧集。（1）为 的表达式， 为对变量 求Laplace算子，

经过作者的一番操作，上式转化为：

这是如何做到的呢？将上式拆解，不难看出后面两项 上的积分是关于 s 的分部积分产生的。即：

除去 部分，（1）与（2）剩下关于Laplace算子 的部分为：

和

也就是说，如果等式成立，那么就有：

这里将积分下的Laplace算子从 上移动到了 上，也就是前面提出的疑问，完成了 .至于如何做到，我们需要回顾一下散度定理。

散度定理

高斯-格林定理，或散度定理（Divergence Theorem）有：

为 上的单位外法向量。

函数 是一个向量值函数（vector valued），不适用于 。因此将散度定理分解到 每一个分量上，得到：

令上式中 ， ，则有分部积分公式：

接下来我们把上述公式转化到Laplace算子上。令 ，令分部积分公式中 ，得到

对 求和得到：

书中的记号

将上式交换 ，然后相减得到：

这就是我们解决引言中的疑问需要用到的公式。

问题解决

（1）中关于Laplace算子 的部分为：

其中对 的积分是在 上的，不能直接使用散度定理，将其转化到边界上的积分。我们需要用到这本书中常见的技巧之一，即将 上的积分转化为球面/球体上的积分，上式可以转化为：

接下来对球上的积分应用上一节最后得到的（3）式，得到上式：

注意这里 是 上的面积微元。

函数 的支撑的定义为[1]： ，即函数不等于零时自变量的集合。

如果函数 在空间 上的闭支持是 的一个紧子集，则该函数具有紧支撑。如果 是 或 ，那么一个函数有紧支撑当且仅当它有界支撑，因为 的子集为紧集当且仅当它为有界闭集。

因为 有紧支撑，因此 足够大时， 上的 一定为 ，（4）式中的边界项即可消除，最终得到：

结论

在 或 满足相同条件时，有结论：

在 或 在 上有紧支撑时，有结论：

参考

1. ^支撑；紧支撑 https://en.wikipedia.shutcm.cf/wiki/Support_(mathematics)#Compact_support