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2022/11/21阅读:17主题:默认主题

Evans PDE书中的微积分技巧(一)积分下互换Laplace算子

最近在看Lawrence C. Evans的PDE。这本书的一大特点就是写的非常简洁,以至于我常看不懂其中省略的的一些步骤。于是常常在知乎上找这本书的相关笔记,没想到各位大佬的笔记也是非常简洁。事实上,这本书是一本绝佳的多元微积分练习册。在我努力搞明白一些省略的步骤中,还是发现了一些非常有意思的多元微积分技巧,于是我准备用一系列文章记录下来,在这里和大家分享。本人数学水平有限,文章中出现的错误欢迎大家指正批评!

引言

我们从分部积分公式(Integration by parts)开始。对任意两个可微的函数 u,v ,成立 . 因此得到分部积分公式

在偏微分方程的相关计算中,函数常常满足某种边界条件,使边界项为 ,因此有 对于拉普拉斯算子(Laplace operator),即 ,在一定的条件下,是否也有类似的 呢?

问题提出

(本段为书中内容的回顾,可跳过)

提出这个问题是因为在Heat equation中Theorem 2(非齐次问题的解)的证明中,我们需要验证非齐次热方程的解。我们省略证明前后内容,只看涉及到的证明过程。函数 ,我们假设 且f 有紧支撑(compact support)(这是一个关键条件),即 f 的支撑集是一个紧集。(1)为 的表达式, 为对变量 求Laplace算子,

经过作者的一番操作,上式转化为:

这是如何做到的呢?将上式拆解,不难看出后面两项 上的积分是关于 s 的分部积分产生的。即:

除去 部分,(1)与(2)剩下关于Laplace算子 的部分为:

也就是说,如果等式成立,那么就有:

这里将积分下的Laplace算子从 上移动到了 上,也就是前面提出的疑问,完成了 .至于如何做到,我们需要回顾一下散度定理。

散度定理

高斯-格林定理,或散度定理(Divergence Theorem)有:

上的单位外法向量。

函数 是一个向量值函数(vector valued),不适用于 。因此将散度定理分解到 每一个分量上,得到:

令上式中 ,则有分部积分公式

接下来我们把上述公式转化到Laplace算子上。令 ,令分部积分公式中 ,得到

求和得到:

书中的记号

将上式交换 ,然后相减得到:

这就是我们解决引言中的疑问需要用到的公式。

问题解决

(1)中关于Laplace算子 的部分为:

其中对 的积分是在 上的,不能直接使用散度定理,将其转化到边界上的积分。我们需要用到这本书中常见的技巧之一,即将 上的积分转化为球面/球体上的积分,上式可以转化为:

接下来对球上的积分应用上一节最后得到的(3)式,得到上式:

注意这里 上的面积微元。

函数 的支撑的定义为[1] ,即函数不等于零时自变量的集合。

如果函数 在空间 上的闭支持是 的一个紧子集,则该函数具有紧支撑。如果 ,那么一个函数有紧支撑当且仅当它有界支撑,因为 的子集为紧集当且仅当它为有界闭集。

因为 有紧支撑,因此 足够大时, 上的 一定为 ,(4)式中的边界项即可消除,最终得到:

结论

满足相同条件时,有结论:

上有紧支撑时,有结论:

参考

  1. ^支撑;紧支撑 https://en.wikipedia.shutcm.cf/wiki/Support_(mathematics)#Compact_support

分类:

数学

标签:

高等数学

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