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2022/09/27阅读:21主题:自定义主题1

竖直方向上的运动

在一维运动的问题中,竖直方向上的运动是我们最熟悉的一种运动形式。

前面已经讨论了利用初始条件推导位置与时间的函数关系的方法,接下来用一些具体的例子说明如何运用这些方法。物体在竖直方向上的运动是我们最熟悉的一种运动,就让我们以这种运动为例子吧。

第一个例子还是物体的自由下落运动。自从伽利略以来,人们对物体的自由下落运动做了大量精密的研究。结果发现,在地面附近,任何物体在做自由下落运动时,加速度的数值大致上是一个常数,与物体所处的地理位置和高度无关,这就是我们熟知的重力加速度。这里所谓的“大致上是一个常数”实际上已经把由于地理位置、高度以及空气的阻碍作用对重力加速度的影响忽略了。

由于粒子自始至终都做下落运动,选择竖直向下的方向为 轴的正向是方便的,在坐标轴的这种选择下, 。既然加速度与时间的依赖关系 (在这个问题中加速度与时间无关) 已知,利用前面的知识马上就可以得到,加速度的原函数 。如果一个粒子从静止开始自由下落,就必定有 。假定我们在粒子开始下落时按下计时器,则必定有 。利用这些已知条件可以得到 ,于是:

知道了速度对时间的依赖关系,就可以进一步求解位置与时间的函数关系。由于 ,因此,速度的原函数

如果将下落的起始位置选为坐标原点,则必定有 ,于是得到了

这就是我们在开始讨论运动问题时,基于中学的知识而先入为主地引入的关系。

再来看一个稍微复杂一点的例子,在地面附近竖直地向上抛一个球。在这个问题中,由于球在一开始是向上运动的,因此,一个很自然的选择就是顺应这个方向,取一根以球的抛出点为原点并且竖直向上的坐标轴。在坐标轴的这种选择下,球的加速度是重力加速度的负值: 。与刚才那个例子相似,加速度的原函数 。假定我们在按下计时器的一瞬间以 的速度向上抛这个球,利用已经得到的速度的理论表达式就可以得到

进一步还可以得到速度的原函数:

由于我们以球的抛出点为原点,因此, 。由此得到球的空间位置与时间的依赖关系:

当物体在竖直方向上运动时,位置和速度的这两个公式都是我们在中学时期就已经熟悉的。

其实,上述两个问题也可以用定积分法进行求解,你要不要试一试呢?如果你做过尝试,你将会发现,对于这两个比较简单的问题,用定积分法进行求解会更简洁。不过,对于一些复杂的问题,定积分法可能就会显得累赘,在这种情况下,原函数法也许会略胜一筹。当然,原函数法也并不总是求解问题的灵丹妙药。对于一些更复杂的问题,甚至连原函数法也无从下手。为了求解复杂问题的微分方程,数学家和物理学家发明了许多不同的求解方法。由于微分方程的解的唯一性,这些不同的求解方法得到的结果是相容的。

到目前为止,我们利用一种早就熟悉的、最常见的运动形式引出了求解运动学问题的基本思路。从下一个问题开始,我们将在这个基础上进一步讨论物体在三维空间中形式各异的运动,这些运动虽然在形式上看似复杂,但是,解决问题的基本思路与一维运动问题是相似的。

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物理

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