阅读以下内容需要掌握的前置知识有：

• 不等式的基本性质
• 因式分解
• 二次函数的图像

初中课本中我们只介绍了基本的一元一次不等式的解法，相比方程，似乎我们能够解决的不等式形式非常单一。

实际上，利用初中知识，同样可以解决分式不等式，一元多次不等式。

从较为功利的角度来说，有一部分试题会通过阅读材料的形式让学生解决此类问题；从长远学习角度看，解不等式是代数中非常重要的计算能力，但初高中知识的断层容易导致孩子们这一知识点的缺失。

典例

• 不等式 的解集
• 不等式 的解集

思路与框架

无论是分式不等式还是高次不等式，最后的结果转化成乘法的形式会更加容易。在这部分中，我们说明两个点：

1. 分式不等式如何转化成相乘形式的高次不等式；
2. 高次不等式的两种解决办法。

不等式的转化

如果我们有一个分式不等式 ，从正负性的角度分析不难得出 同正或同负；两个正负性一致的代数式相乘时，结果仍然为正，即 . 同样的道理，如果 ，我们可以得到 .

要注意的是，由于分母不能取 ，不等式 实际上是 与 两种情况的并集（即这两个式子计算出来的结果都是可行的）。

我们也可以把 翻译为 .

一般来说前一种方法在实际运用中会更加方便。

解高次不等式

I. 因式分解+正负性

例题中的 是一个已经完成了因式分解的不等式。

注意：我们需要不等式的其中一边为0，这样才可以在后面利用正负性。

这个不等式有解的情况如下：

或

由这两个不等式组的结果可知原不等式的解为 或 .

II. 与函数图像结合

如果我们把不等式左边的 看成一个函数，即 ，那么 的函数图像如下。

在这个图上，我们标出了 与 轴的交点，从几何意义上去理解原来的不等式就是在说：

的取值范围如何时， .

我们从图像上可以很容易的得到结论 或 .

Bonus

在高中讨论函数的增减性时（现在初中的一部分习题中也已经出现了），会出现这样的题干：

对某范围内的任意两数 ，不等式 恒成立。

分析这个不等式会发现它的分子分母同正负，也就是 越大， 就越大，这不就是我们所说的增函数！

反之，思考这个不等式 ，它所暗含的信息就是减函数了。

例题解答

• 已经在上面用两种方法解答。

• 先转换成相乘的形式 .

由因式分解+正负性的讨论可知，这个不等式等价于

或

前一个不等式组的解为 后一个为 ，即原不等式的解为 或 .

若利用图像来解决，画出图像，后面的部分就非常容易得到了。

More Practice

需要先把 移到左边再因式分解，否则无法根据正负性来计算。

通过描点法不难画出 的图像，由函数图像马上可以得到答案

这个不等式是无法在有理数范围内因式分解的，借助函数图像与求根公式，即可解出不等式。 的图像如下：

利用求根公式， 的解不难求，为 ，所以最后只需知道 的范围使得函数的值小于 ，不等式的解为 .

总结

两步走解决分式不等式和高次不等式，先转换成相乘的形式，再依据正负性得出结果。函数图像可以作为辅助手段，更加直观地得出结果。

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