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2022/09/24阅读:25主题:默认主题

积木块|不等式问题01

阅读以下内容需要掌握的前置知识有:

  • 不等式的基本性质
  • 因式分解
  • 二次函数的图像

初中课本中我们只介绍了基本的一元一次不等式的解法,相比方程,似乎我们能够解决的不等式形式非常单一。

实际上,利用初中知识,同样可以解决分式不等式,一元多次不等式。

从较为功利的角度来说,有一部分试题会通过阅读材料的形式让学生解决此类问题;从长远学习角度看,解不等式是代数中非常重要的计算能力,但初高中知识的断层容易导致孩子们这一知识点的缺失。

典例

  • 不等式 的解集
  • 不等式 的解集

思路与框架

无论是分式不等式还是高次不等式,最后的结果转化成乘法的形式会更加容易。在这部分中,我们说明两个点:

  1. 分式不等式如何转化成相乘形式的高次不等式;
  2. 高次不等式的两种解决办法。

不等式的转化

如果我们有一个分式不等式 ,从正负性的角度分析不难得出 同正或同负;两个正负性一致的代数式相乘时,结果仍然为正,即 . 同样的道理,如果 ,我们可以得到 .

要注意的是,由于分母不能取 ,不等式 实际上是 两种情况的并集(即这两个式子计算出来的结果都是可行的)。

我们也可以把 翻译为 .

一般来说前一种方法在实际运用中会更加方便。

解高次不等式

I. 因式分解+正负性

例题中的 是一个已经完成了因式分解的不等式。

注意:我们需要不等式的其中一边为0,这样才可以在后面利用正负性。

这个不等式有解的情况如下:

由这两个不等式组的结果可知原不等式的解为 .

II. 与函数图像结合

如果我们把不等式左边的 看成一个函数,即 ,那么 的函数图像如下。

在这个图上,我们标出了 轴的交点,从几何意义上去理解原来的不等式就是在说:

的取值范围如何时, .

我们从图像上可以很容易的得到结论 .

Bonus

在高中讨论函数的增减性时(现在初中的一部分习题中也已经出现了),会出现这样的题干:

对某范围内的任意两数 ,不等式 恒成立。

分析这个不等式会发现它的分子分母同正负,也就是 越大, 就越大,这不就是我们所说的增函数!

反之,思考这个不等式 ,它所暗含的信息就是减函数了。

例题解答

  • 已经在上面用两种方法解答。

  • 先转换成相乘的形式 .

由因式分解+正负性的讨论可知,这个不等式等价于

前一个不等式组的解为 后一个为 ,即原不等式的解为 .

若利用图像来解决,画出图像,后面的部分就非常容易得到了。

More Practice

需要先把 移到左边再因式分解,否则无法根据正负性来计算。

通过描点法不难画出 的图像,由函数图像马上可以得到答案

这个不等式是无法在有理数范围内因式分解的,借助函数图像与求根公式,即可解出不等式。 的图像如下:

利用求根公式, 的解不难求,为 ,所以最后只需知道 的范围使得函数的值小于 ,不等式的解为 .

总结

两步走解决分式不等式和高次不等式,先转换成相乘的形式,再依据正负性得出结果。函数图像可以作为辅助手段,更加直观地得出结果。


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分类:

数学

标签:

数学基础

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