圆轨道上的匀速运动

在匀速圆周运动中，加速度的作用是改变运动的方向。

在有加速度的运动中，一般的斜抛射体运动是最简单的一种运动，这种运动的加速度是一个常矢量。在竖直方向上的两种运动是一般抛射体运动的两种特殊情形：当初速度为零时就是自由下落运动，而发射倾角为一个直角时就是上抛运动。物体的平抛运动也是斜抛运动的一个特例，在这种情况下，发射倾角等于 。

比抛射体运动稍微复杂一点的运动是圆轨道上的运动，这是一个加速度会发生改变的运动。当物体沿着圆轨道运动时，加速度将发生改变，利用前面关于加速度的方向的定性图象就可以做出这个论断。

假定一个物体沿着一个圆轨道运动，在某个时刻到达轨道上的 点。根据加速度的定性图象，物体在这一点上的加速度必定指向圆轨道的内侧，在图中也就是沿竖直切线偏右的方向。过了一段时间后，物体运动到 点，这时，它的加速度也应该指向圆轨道的内侧，也就是竖直切线偏左的方向。显然，物体在从 点运动到 点的过程中，加速度必定发生了改变。

上述定性图象虽然能够在一定程度上说明沿圆轨道运动时加速度的特点，但是，这肯定不是物理学的目标，物理学的目标是要把这个加速度定量地表达出来。

让我们从匀速圆周运动开始。前面已经论证过，当物体做圆周运动时，它的速度是要发生改变的，所以这里的“匀”字并不表现在速度上，而是表现在速率上。当速度发生改变时，速率有可能不改变，在这种情况下，加速度的作用必定用来改变速度的方向。

考虑物体在圆轨道上运动到某个点，这时它有一个速度 ，经过一段时间间隔后，这个物体运动到了另一个点，速度发生了改变，变成 。由于速率没有变化，因此， 。前面已经讲过，加速度的方向就是当 时 的方向。为了得到 的方向，将 做一个平移，使它的尾部与 的尾部相接，这时，从 的箭头处向 的箭头处画出的有向线段就给出了 的大小和方向。由于 ，因此， 、 和 这三个矢量构成一个等腰三角形，它的两个底角相等： 。现在，让 ，结果发现： 。于是，当物体做匀速圆周运动时，在轨道上的每一点，加速度的方向沿圆轨道的半径指向圆心，也就是圆轨道曲线的内法线方向。习惯上，用 表示沿曲线的内法线方向上的单位矢量，于是， 。

接下来考虑加速度的数值。我们知道，速度沿运动轨迹的切线指向前进的一方，因此，当物体在圆轨道上运动时，速度与轨道圆周的半径垂直。利用这个事实，结合匀速圆周运动的其他特点容易论证，图中的两个三角形相似： 。由简单的几何关系马上可以得到：

当 时，上面的等式变成

其中 是运动轨迹上弧长(即路程)的微元。等式的两边形式上除以时间的微元：

于是得到了物体做匀速圆周运动时加速度的表达式：

其中加速度的数值正是我们在中学时期就已经熟悉的向心加速度。