每日一题

Problem

( 2021 秋·山西期末) 已知椭圆 的离心率 , 椭圆上的点与左、右顶点所构成三角形面积的最大值为 （1）求椭圆 的标准方程； (2) 设过椭圆 右焦点的直线 的斜率分别为 , 满足 交 于点 交 于点 , 线段 与 的中点 分别为 . 判断直线 是否过定点, 若过定点求出该定点；若不过定点, 请说明理由.

Answer

【解答】解: (1) 设右焦点 , 由题知 求得 , 所以椭圆 的标准方程为 . （2）方法一：设 , 联立直线 与椭圆 的方程得 消去 得, , 由根与系数的关系知 , 则 , 代入直线 的方程得 , 所以 , 同理得 . (1) 当直线 的斜率存在时, 设直线 , 将点 的坐标代入直线 , 得 易知 为方程 的两个根, 由根与系数的关系知 , 由题知 , 所以 , 得 , 所以直线 , 所以直线 过定点 . (2) 当直线 的斜率不存在时, , 即 , 所以 , 且 .

不妨设 , 所以 , 即直线 , 满足过定点 . 综上, 直线 过是点 . 方法二: 设 , 联立直线 与椭圆 的方程 消去 得, . 由根与我数的关系知, , 代入直线 的方程得 , 所以以 , 同理的 . (1) 当直线 的斜率存在时, 即

（上式结合 化简 ） 直线 , 由椭圆的对称性可知, 若定点存在, 则必在 轴上, 所以令 ​​,得

所以直线 过定点 .

(2) 当直线 的斜率不存在时, , 即 , 所以 . 不妨设 , 所以 , 即直线 , 满足过定点

综上, 直线 过定点 .