每日一题

Problem

( 2021 秋·山西期末) 已知椭圆的离心率 , 椭圆上的点与左、右顶点所构成三角形面积的最大值为（1）求椭圆的标准方程； (2) 设过椭圆右焦点的直线的斜率分别为 , 满足交于点交于点 , 线段与的中点分别为 . 判断直线是否过定点, 若过定点求出该定点；若不过定点, 请说明理由.

Answer

【解答】解: (1) 设右焦点 , 由题知求得 , 所以椭圆的标准方程为 . （2）方法一：设 , 联立直线与椭圆的方程得消去得, , 由根与系数的关系知 , 则 , 代入直线的方程得 , 所以 , 同理得 . (1) 当直线的斜率存在时, 设直线 , 将点的坐标代入直线 , 得易知为方程的两个根, 由根与系数的关系知 , 由题知 , 所以 , 得 , 所以直线 , 所以直线过定点 . (2) 当直线的斜率不存在时, , 即 , 所以 , 且 .

不妨设 , 所以 , 即直线 , 满足过定点 . 综上, 直线过是点 . 方法二: 设 , 联立直线与椭圆的方程消去得, . 由根与我数的关系知, , 代入直线的方程得 , 所以以 , 同理的 . (1) 当直线的斜率存在时, 即

（上式结合化简）直线 , 由椭圆的对称性可知, 若定点存在, 则必在轴上, 所以令 ,得

所以直线过定点 .

(2) 当直线的斜率不存在时, , 即 , 所以 . 不妨设 , 所以 , 即直线 , 满足过定点

综上, 直线过定点 .