每日一题
Problem
( 2021 秋·山西期末) 已知椭圆
的离心率
, 椭圆上的点与左、右顶点所构成三角形面积的最大值为
(1)求椭圆
的标准方程; (2) 设过椭圆
右焦点的直线
的斜率分别为
, 满足
交
于点
交
于点
, 线段
与
的中点 分别为
. 判断直线
是否过定点, 若过定点求出该定点;若不过定点, 请说明理由.
Answer
【解答】解: (1) 设右焦点
, 由题知
求得
, 所以椭圆
的标准方程为
. (2)方法一:设
, 联立直线
与椭圆
的方程得
消去
得,
, 由根与系数的关系知
, 则
, 代入直线
的方程得
, 所以
, 同理得
. (1) 当直线
的斜率存在时, 设直线
, 将点
的坐标代入直线
, 得
易知
为方程
的两个根, 由根与系数的关系知
, 由题知
, 所以
, 得
, 所以直线
, 所以直线
过定点
. (2) 当直线
的斜率不存在时,
, 即
, 所以
, 且
.
不妨设
, 所以
, 即直线
, 满足过定点
. 综上, 直线
过是点
. 方法二: 设
, 联立直线
与椭圆
的方程
消去
得,
. 由根与我数的关系知,
, 代入直线
的方程得
, 所以以
, 同理的
. (1) 当直线
的斜率存在时, 即
(上式结合
化简
) 直线
, 由椭圆的对称性可知, 若定点存在, 则必在
轴上, 所以令
,得
所以直线
过定点
.
(2) 当直线
的斜率不存在时,
, 即
, 所以
. 不妨设
, 所以
, 即直线
, 满足过定点
综上, 直线
过定点
.