蒹葭苍苍

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2023/03/25阅读:25主题:姹紫

牛顿迭代法的一个小缺陷

牛顿迭代法是最常用的数值计算非线性方程根的方法。牛顿迭代法的核心步骤是

牛顿迭代法的结果收敛,意味着数列

是收敛的;反过来,则意味着数列发散。发散有很多种情况,常见的发散类型是趋于无穷和振荡。

对于无穷的类型,有 。我们可以取特殊情况 ,此时

如果上述方程对任意的 成立,则有

或者

其中 为任意常数。这表明在零点附近只要增长速度比开平方大就会导致不收敛。于是,我们得到一类导致发散的函数

或者

其中 。当然我们也可以构造导数更大的其他函数,如

对于振荡的类型,可以按振荡的周期分类。这里以周期为2为例,此时

积分可得

事实上,前面得到的平方根函数就会振荡。当然,我们也可以构造一个会导致振荡的周期函数

总的来说,如果零点附近的导数趋于无穷,对牛顿迭代法不是一个好消息。

分类:

数学

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数学

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