牛顿迭代法的一个小缺陷

牛顿迭代法是最常用的数值计算非线性方程根的方法。牛顿迭代法的核心步骤是

牛顿迭代法的结果收敛，意味着数列

是收敛的；反过来，则意味着数列发散。发散有很多种情况，常见的发散类型是趋于无穷和振荡。

对于无穷的类型，有 。我们可以取特殊情况 ，此时

如果上述方程对任意的 成立，则有

或者

其中 为任意常数。这表明在零点附近只要增长速度比开平方大就会导致不收敛。于是，我们得到一类导致发散的函数

或者

其中 。当然我们也可以构造导数更大的其他函数，如

对于振荡的类型，可以按振荡的周期分类。这里以周期为2为例，此时

即

积分可得

事实上，前面得到的平方根函数就会振荡。当然，我们也可以构造一个会导致振荡的周期函数

总的来说，如果零点附近的导数趋于无穷，对牛顿迭代法不是一个好消息。