P0lyno3ial

V1

2022/07/24阅读:28主题:默认主题

Green-Tao 定理 (4): 能量增量方法

本章中我们将完成 G-T-S 定理 (定理1.2.1) 的证明. 我们主要的想法是将函数 分解为 , 其中 的 Gower 范数很小, 为 Gowers 反一致函数, 为误差.

4.1. 推广的 Koopman-Von Neumann 定理

定理 4.1.1 [推广的 Koopman-Von Neumann 定理] 阶伪随机测度, 上非负函数, 满足 . 令 , 充分大. 则存在一个 代数 及一个例外集 满足以下条件:

(1) (例外集足够小)

(2) ( 外分布均匀)

(3) (Gowers 范数估计)

我们称满足上面条件的函数为 Gowers 一致函数, 简称 Gowers 函数.

基于这个结论与 Szemerédi 定理我们就能给出定理1.2.1的证明.

G-T-S定理的证明. 如定理中所示, 待选取. 设 是上面构造的 代数, 我们记

为 Gowers 一致与反一致的部分. 注意到 , 由上面定理,

足够小使得 , 为了应用 Szemerédi 定理, 我们需要花点时间处理 可能导致的误差. 令 , 则 , 于是可以使用 Szemerédi 定理得到

所以

另一方面, 由上面定理知 , 由定理2.1 即得

其中 或者 , 且至少有一个为 . 将上面两个估计合并就得到 ( )

由于 可以任意小, 取 足够大, 上式可以写为

这就完成了 G-T-S 定理的证明.

注. 可以看到为了估计主项, Szemerédi 定理在此处的使用是难以避免的, 所以 Green-Tao 定理的证明并不蕴涵 Szemerédi 定理.

4.2 能量增量方法

现在我们只需要证明定理 4.1.1. 我们将使用能量增量方法.

大概的步骤如下:

(1) 选取初始 代数, .

(2) 若 已经是 Gowers 函数 (满足 (***)式), 则停止步骤; 否则可以利用定理 3.1.2 选取 使其与 有一定的相关性, 将 的水平集添加到 中. 一些相关性条件指出 范数每次操作都会有非平凡的增加.

(3) 重复上述过程直至 是 Gowers 函数. 这一循环必将停止, 因为 范数存在一个上界.

注. 在 Szemerédi 定理的遍历论证明中, 这一步骤的停止用 Zorn 引理来说明更方便, 但实际上 Furstenberg 在原始论文中证明了循环只会重复有限次.

现在开始详细构造.

定理 4.2.1. [循环步骤] 阶伪随机测度, 实函数 满足 . 取 为很小的参数, 为整数. 设 足够小, 足够大.

(i) 令 满足逐点控制条件

, 其中 是定理 3.2.1 中构造的 代数, 再假设存在 满足

(ii) ( 很小)

(iii) (分布均匀)

并假设

(iv) 不是 Gowers 函数, 亦即

则有估计

(a) 外有界:

(b) ( 逐点有界)

进一步, 令 为新生成的 代数, 则存在 使得

(c) ( 很小)

(d) (分布均匀)

此外还有 (e) (能量增量)

先利用上面的循环步骤给出定理 4.1.1 的证明.

证明. 取定 , 并令 . 我们将看到 是理论上循环次数的上限. 像上面定理中那样取 足够小, 足够大. 我们将依照下面的步骤构造一列 并从中得到所需要的 .

(0) 初始化: 取 , .

(1) 依循环步骤定义 . 例如在 , , 此时循环中的 (i)(ii)(iii) 假设自然地成立, 于是可以继续循环. 我们将看到这三条假设会一直成立.

(2) 若 (iv) 假设不成立, 取 , , 退出循环, 这便是所求的 .

(3) 若 (iv) 假设成立, 不是 Gowers 函数, 依循环步骤定义 , 并在 中取出 使 (a)-(d) 条件成立.

(4) 变为 . 若 , 则上一循环的结论 (a)(c)(d) 恰好是本循环的假设 (i)(ii)(iii), 可以返回步骤 (1) 继续循环; 下面会证明 不会发生.

我们假设循环进行到了 步, 在结论 (e) 中我们已经定义了能量

足够小, 应用条件 (a) 得到

这与上式矛盾. 所以循环不会进行到 步. 如此便只能在某一步按步骤 (2) 停止. 这里我们得到的误差是 , 而非定理 4.1.1 中的误差项 , 但只要让 的速度足够缓慢, 就有 .

最后, 我们证明循环步骤.

循环步骤的证明. 如命题中所述.

结论 (a) 是容易证明的: 由条件 (iii) 得到

则由 就得到 (a). 利用 (a) 可以证明 (b):

类似于定理 3.1.1 的手法 ( 一项会带来误差), 由条件 (i) 和结论 (b), 任给 ,

利用定理 3.2.2, 存在 使得

现在令 , 我们有 , 故 (c)(d) 可以验证: