小孙孙

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2022/03/04阅读:93主题:默认主题

考研高数:极限的计算(1)

内容说明:
 1. 博文绝大部分题目来自2022版武忠祥老师《十七堂课》,少部分来自宇哥的2022讲义
 2. 博文习题难度中下,计算量偏大,部分题目计算量极其巨大
编辑历史
 2022/1/14 : 第一次编辑

第一部分 重要极限

知识提要

a)常用的重要极限

b)常见的需要讨论的极限

c)一些常见的二级结论

习题

1). 涉及幂指函数的处理

solution 1:

solution 2:

   notice:

2). 涉及阶乘的处理

  由于 增长速度慢于 ,故忽略前者,原极限计算等价于下面极限的计算:

*solution 1:*
notice that so

solution 2:

   补充 斯特林公式

   题目注: 可以忽略同样可以用斯特林公式证明之。这道题是武老师视频课里面补充的一道题,两种解法都需要用到知识提要a)中第二个式子。

3). 涉及零因子消去

solution:

  这里对e指数帽子上的部分进行处理,观察到 是一个 型的极限,可以用洛必达法则进行处理,但是做起来有点麻烦,可以做以下变形

4). 涉及多项式系数

solution:   分析题目极限应该为一个 型,可以凑重要极限,可以做以下变形

  其中 项的系数,观察可知为

5). 涉及一种利用极限定义的函数

一种使用极限定义的函数,题目难点主要在以下三个方面: 1. 极限本身很难算,需要代数变形、提因子等手段 2. 函数是分段函数,极限需要分左右极限 3. 题目看起来就难,心理作用考场上一看就难受报名费打水漂。。

求出下列函数的所有间断点

解题方法: 1. 找出这个函数的自变量,写出所有可能导致极限值改变的情况(人为分了左右极限) 2. 在数轴上标出这些点的位置,在每一个点围成的区间内讨论函数的表达式 3. 计算点上的情况

  进一步

  可以得到函数在0和-1处有两个跳跃间断点.

总结

  这部分习题难度不是很大,但是需要细致的计算,特别是涉及多项式、涉及由极限定义的函数都要认真算。极限的题有一个大致方向,但是具体到细节是做代数变形,还是提零因子,还是凑重要极限,这些都要根据具体的题目来定,招无定式,法无定则,灵活使用等价、泰勒、拉格朗日中值、积分等方法。


第二部分 极限的四则运算

知识提要

1. 在 极限都存在的情况下,两个极限的四则运算成立。若有一个极限不存在,极限的结果待定。 2. 一个对于极限的乘除,可先计算极限的非零因子。

习题

1). 经典易错题

经典错解: 观察分子是 型极限,凑重要极限得到

  错解的根源在于违反了知识提要的第二点,在分母极限不存在的情况下优先计算了部分分子,得到了指数函数的底数e,尽管分子得到的是一个表达式(违反第二点常见的情况是算了某一个部分,这一部分的结果是一个常数,然后把常数带入极限式子里继续计算)。 正确的解法如下: solution:

2). 利用拉格朗日中值定理

  这道题用常规方法都难算的不得了,以下是一个方便的解法:

solution:

where ,

  这里 可以算出来的原因在于 (通常利用中值定理求极限不会满足两个中值都是非零常数,这道题是特例)

分类:

数学

标签:

高等数学

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