小孙孙
2022/03/04阅读：93主题：默认主题
考研高数:极限的计算(1)
内容说明：
1. 博文绝大部分题目来自2022版武忠祥老师《十七堂课》，少部分来自宇哥的2022讲义
2. 博文习题难度中下，计算量偏大，部分题目计算量极其巨大
编辑历史
2022/1/14 ： 第一次编辑
第一部分 重要极限
知识提要
a）常用的重要极限
b）常见的需要讨论的极限
c）一些常见的二级结论
习题
1). 涉及幂指函数的处理
solution 1:
solution 2:
2). 涉及阶乘的处理
由于 增长速度慢于 ，故忽略前者，原极限计算等价于下面极限的计算：
*solution 1:*
solution 2:
补充 斯特林公式
题目注： 可以忽略同样可以用斯特林公式证明之。这道题是武老师视频课里面补充的一道题，两种解法都需要用到知识提要a)中第二个式子。
3). 涉及零因子消去
solution:
这里对e指数帽子上的部分进行处理，观察到 是一个 型的极限，可以用洛必达法则进行处理，但是做起来有点麻烦，可以做以下变形
4). 涉及多项式系数
solution： 分析题目极限应该为一个 型，可以凑重要极限，可以做以下变形
其中 为 项的系数，观察可知为
5). 涉及一种利用极限定义的函数
一种使用极限定义的函数，题目难点主要在以下三个方面： 1. 极限本身很难算，需要代数变形、提因子等手段 2. 函数是分段函数，极限需要分左右极限 3. 题目看起来就难，心理作用考场上一看就难受报名费打水漂。。
求出下列函数的所有间断点
解题方法： 1. 找出这个函数的自变量，写出所有可能导致极限值改变的情况（人为分了左右极限） 2. 在数轴上标出这些点的位置，在每一个点围成的区间内讨论函数的表达式 3. 计算点上的情况
进一步
可以得到函数在0和-1处有两个跳跃间断点.
总结
这部分习题难度不是很大，但是需要细致的计算，特别是涉及多项式、涉及由极限定义的函数都要认真算。极限的题有一个大致方向，但是具体到细节是做代数变形，还是提零因子，还是凑重要极限，这些都要根据具体的题目来定，招无定式，法无定则，灵活使用等价、泰勒、拉格朗日中值、积分等方法。
第二部分 极限的四则运算
知识提要
1. 在 、 极限都存在的情况下，两个极限的四则运算成立。若有一个极限不存在，极限的结果待定。 2. 一个对于极限的乘除，可先计算极限的非零因子。
习题
1). 经典易错题
经典错解： 观察分子是 型极限，凑重要极限得到
错解的根源在于违反了知识提要的第二点，在分母极限不存在的情况下优先计算了部分分子，得到了指数函数的底数e，尽管分子得到的是一个表达式（违反第二点常见的情况是算了某一个部分，这一部分的结果是一个常数，然后把常数带入极限式子里继续计算）。 正确的解法如下： solution:
2). 利用拉格朗日中值定理
这道题用常规方法都难算的不得了，以下是一个方便的解法：
solution:
where ,
这里 可以算出来的原因在于 且 （通常利用中值定理求极限不会满足两个中值都是非零常数，这道题是特例）
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