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2022/12/29阅读:20主题:默认主题

【有限元笔记】抛物问题的空间半离散

最近需要准备毕业论文,于是去和老师交流。交流过程中发现,谈到抛物和双曲问题,对于涉及的抛物和双曲问题我一无所知。回去翻书,发现课上学的有限元方法仅涉及到椭圆方程,对于包含关于时间变量的发展方程则很少有涉及。

因此我准备用一系列文章记录抛物方程的有限元方法,包括一些简介,空间半离散,时间空间全离散(向后Euler格式,Crank-Nicolson格式,间断Galerkin有限元),给同样做有限元/抛物问题相关毕业设计的同学一些参考。本人数学水平有限,文章中出现的错误欢迎大家指正批评!

抛物问题的有限元方法(FEM for parabolic problems)

参考书籍:

  • K. W. Morton, D. F. Mayers - Numerical solution of partial differential equations
  • Claes Johnson - Numerical Solution of Partial Differential Equations by the Finite Element Method

1.抛物问题简介

热像引力一样穿透宇宙所有物质,辐射整个空间。

——傅立叶《热分析理论》1822

抛物方程用于描述多种时间相关物理现象,包括热传导、粒子扩散等[1]。严格意义上,抛物方程是通过二阶线性常系数PDE的化简来定义的,具体可参考数理方程书中内容[2]

大家更为熟悉的热传导方程,是抛物方程中形式最为简单的一种,也是本文主要讨论的方程。简单起见,考虑Dirichlet边界条件下的一维齐次热方程:

回忆数学物理方程课上最痛苦的变量分离法,我们可以得到方程(1)的解析解是一组Fourier级数:

结合已知的初始条件,得到系数

直观地来看,热方程的解是不同频率 函数的线性组合,振幅按 的速度缩减。因此齐次热方程(1)有估计:

下面这张动图也非常形象地展现了这样的过程。

2.空间半离散近似

考虑如下抛物方程:

方程(2)的半离散格式基于方程导出的变分公式。我们避开Sobolev空间的具体定义,令 ,其中 定义为:

对于给定的时间 ,将等式(2a)两端乘以 并在 上积分,通过Green公式等一系列操作,得到方程(2)的变分公式:

其中 ,此记号对于学过微分几何的同学来说应该是熟悉的。并且:

现在令 的有限维子空间,空间的基为 。假设 是一个多边形凸区域,并且 上的准均匀三角剖分上的分段线性函数组成。将 替换为有限维子空间 ,得到变分问题(2)的半离散近似

3.变分问题的计算

有表达式:

是关于时间 的系数。将上述表达式代入(4),令 ,得到:

或写成矩阵形式:

其中

回想一下,质量矩阵 和刚度矩阵 都是对称正定的,我们有Cholesky分解定理[3]

Cholesky -分解定理:如果 是实对称正定矩阵,则它有唯一的分解, ,其中 是有正对角元的下三角矩阵。

则有 ,令 ,(6)式可化为更简单的形式:

其中 是对称正定矩阵, ,(7)的解有如下表达式[4]

封面故事

在HUNNU的天马园区里,生活着一只奶牛猫。它膘肥体壮,形如芝麻馅的汤圆,因此大家叫它“芝麻汤圆”。 天冷了,裹紧被子。大家也要注意保暖。

参考资料

[1]

Wikipedia: https://en.wikipedia.shutcm.cf/wiki/Parabolic_partial_differential_equation

[2]

参考书籍: 王明新-数学物理方程(第2版)1.3节

[3]

参考书籍: DavidR.Kincaid,E.WardCheney-NumericalAnalysis

[4]

参考书籍: 参考任何一本常微分方程书籍中的“常值变异法”

分类:

数学

标签:

高等数学

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