最近需要准备毕业论文，于是去和老师交流。交流过程中发现，谈到抛物和双曲问题，对于涉及的抛物和双曲问题我一无所知。回去翻书，发现课上学的有限元方法仅涉及到椭圆方程，对于包含关于时间变量的发展方程则很少有涉及。

因此我准备用一系列文章记录抛物方程的有限元方法，包括一些简介，空间半离散，时间空间全离散（向后Euler格式，Crank-Nicolson格式，间断Galerkin有限元），给同样做有限元/抛物问题相关毕业设计的同学一些参考。本人数学水平有限，文章中出现的错误欢迎大家指正批评！

抛物问题的有限元方法（FEM for parabolic problems）

参考书籍：

• K. W. Morton, D. F. Mayers - Numerical solution of partial differential equations
• Claes Johnson - Numerical Solution of Partial Differential Equations by the Finite Element Method

1.抛物问题简介

热像引力一样穿透宇宙所有物质，辐射整个空间。

——傅立叶《热分析理论》1822

抛物方程用于描述多种时间相关物理现象，包括热传导、粒子扩散等^[1]。严格意义上，抛物方程是通过二阶线性常系数PDE的化简来定义的，具体可参考数理方程书中内容^[2]

大家更为熟悉的热传导方程，是抛物方程中形式最为简单的一种，也是本文主要讨论的方程。简单起见，考虑Dirichlet边界条件下的一维齐次热方程：

回忆数学物理方程课上最痛苦的变量分离法，我们可以得到方程（1）的解析解是一组Fourier级数：

结合已知的初始条件，得到系数

直观地来看，热方程的解是不同频率 函数的线性组合，振幅按 的速度缩减。因此齐次热方程（1）有估计：

下面这张动图也非常形象地展现了这样的过程。

2.空间半离散近似

考虑如下抛物方程：

方程（2）的半离散格式基于方程导出的变分公式。我们避开Sobolev空间的具体定义，令 ，其中 定义为：

对于给定的时间 ，将等式（2a）两端乘以 并在 上积分，通过Green公式等一系列操作，得到方程（2）的变分公式：

其中 ，此记号对于学过微分几何的同学来说应该是熟悉的。并且：

现在令 为 的有限维子空间，空间的基为 。假设 是一个多边形凸区域，并且 由 上的准均匀三角剖分上的分段线性函数组成。将 替换为有限维子空间 ，得到变分问题（2）的半离散近似：

3.变分问题的计算

有表达式：

是关于时间 的系数。将上述表达式代入（4），令 ，得到：

或写成矩阵形式：

其中

回想一下，质量矩阵 和刚度矩阵 都是对称正定的，我们有Cholesky分解定理^[3]：

Cholesky -分解定理：如果 是实对称正定矩阵，则它有唯一的分解， ，其中 是有正对角元的下三角矩阵。

则有 ，令 ，（6）式可化为更简单的形式：

其中 是对称正定矩阵， ， ，（7）的解有如下表达式^[4]：

封面故事

在HUNNU的天马园区里，生活着一只奶牛猫。它膘肥体壮，形如芝麻馅的汤圆，因此大家叫它“芝麻汤圆”。 天冷了，裹紧被子。大家也要注意保暖。

参考资料

[1]

Wikipedia: https://en.wikipedia.shutcm.cf/wiki/Parabolic_partial_differential_equation

[2]

参考书籍: 王明新-数学物理方程（第2版）1.3节

[3]

参考书籍: DavidR.Kincaid,E.WardCheney-NumericalAnalysis

[4]

参考书籍: 参考任何一本常微分方程书籍中的“常值变异法”