傲天居士

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2022/06/27阅读:28主题:默认主题

冲刺强基计划数学物理专题一

1. 强基计划数学物理模拟卷

本人出了一套强基计划数学物理模拟试题,适合有一定基础的高考生。由于本人水平有限,若存在疏漏还请诸位大佬批评指正!

2. 高斯函数专题

对应到模拟卷第一题第一问。解方程:

移项得:

由高斯函数的性质:
因此综合可得:

解不等式得:

下面分情况讨论:

  1. 时, ,此时原方程即为 ,解得 .结合 的范围,取 .
  2. 时, ,此时原方程即为 ,解得 .结合 的范围,取 .
  3. 时, ,此时代入原方程得 成立。 综上, .

3. 复数与单位根专题

对应到模拟卷第一题第二问

已知 ,且 .

则容易知道 是方程 在复数域上的全部根。那么方程 又可以写成:

对比系数不难得出:

因此, ,则有

4. 椭圆面积与坐标系变换

4.1 伸缩变换

对应到模拟卷第二题第一问

记椭圆(或圆)的面积为

方法一:

由对称性可得:

方法二:

利用坐标系变换:

则椭圆(或圆) 可化为:

设变化后的面积为 ,则有对应关系:

因此可得椭圆(或圆)的面积为

4.2 旋转变换

对应到模拟卷第二题第二问

坐标系上任一点 绕坐标原点逆时针旋转 后的坐标为:

利用三角函数公式可展开为:

在矩阵的视角下,可以写为:

在直角坐标系下,假设变换前的坐标为(x,y),绕坐标原点旋转 后的坐标记为 .

则有:

首先将圆锥曲线 化为:

记矩阵

则矩阵 可以对角化:

则有:

令:

则等式左边可化简为:

等式右边即为:

而由椭圆 方程:

因此有:

为椭圆

由此可知,椭圆 逆时针旋转 (即顺时针旋转 )后可得到椭圆

模拟卷第二题第一问所得椭圆(或圆)面积公式可知,椭圆 的面积为

由于面积的旋转不变性,可得圆锥曲线 的面积也为 .

未完待续

分类:

数学

标签:

数学

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