几何测度论 (Federer) 笔记 01 : Suslin 集

Suslin 集

记 为全体正整数, . 上的离散拓扑会对应到 上的一个乘积拓扑. 这个拓扑也可以理解为如下度量所诱导的拓扑:

在此拓扑下, 是一个完备可分空间.

定理2.2.8. 对任意非空完备可分度量空间 , 存在局部 Lipschitz 映射 为满射.

证明: 归纳地我们将每个有限正整数列 与 中的一个非空闭子集 关联起来, 其中

并且

那么对于任意 , 如下闭子集列

的直径趋向于 , 因此他们的交集包含唯一一个 中的点, 将其记为 . 显然 . 且对任意 , 且满足 , 存在 , 使得

从而

即

Q.E.D.

定义. 设 为拓扑空间, 考虑投影

的子集称为 Suslin 子集, 若它是 某个闭子集在 下的像.

若 为 Hausdorff 空间, 连续, 则 为 的一个 Suslin 子集. 这是因为

若 为完备可分度量空间 的一个 Suslin 子集, 则存在连续满射 . 取 , 其中 为由定理 2.2.8. 得到的 的满射, 这里 为 闭子集, 且使 .

若 为 Hausdorff 空间, 为某个完备可分度量空间的 Suslin 子集, 连续, 则 为 的 Suslin 子集.

若 连续, 为 的 Suslin 子集, 则 为 的 Suslin 子集.

若 为 的可数非空 Suslin 子集族, 则 , 均为 的 Suslin 子集.

若 为度量空间, 则 的任意 Borel 子集为 Suslin 子集.

命题: 存在 Suslin 集不为 Borel 集.

证明: 设 为某个拓扑空间, 且具有一组可数拓扑基 . 则集合

为 中闭集, 且每个 的闭子集均会出现在某个切片

中. 取 , 则

为 中 Suslin 子集, 并且每个 的 Suslin 子集会出现在某个切片

中. 令 , 则

为 的 Suslin 子集 (对角映射连续性). 而 不为 Suslin 集, 因为 将同时导出 与 , 矛盾. 因此 不为 Borel 集. Q.E.D.

定义: 上的测度 称为正则测度, 如果对任意集合 , 存在 可测集 使得

若 正则, 则对任意 中的递增子集列 , 有

定理2.2.12. 设 为拓扑空间 上的测度, 上的所有闭子集均 可测, 为 上的 Suslin 集. 对任意 子集 满足 , , 包含一闭集 使得 . 从而 必 可测.

证明: 通过将 替换为 , 我们可不妨假设 . 我们定义正则测度 如下:

设 为 中闭集, 使得 . 对 , 我们归纳选取 及闭集 使得

这是可能的, 因为 的正则性, 以及

接着我们定义闭集

由于 , , 对任意 , 我们有

注意到

为紧集, 且

为了得到结论, 我们需说明 . 为此我们证明 . 首先显然有 . 为了证明另一边的包含关系, 我们假设 , 则 , 且存在开集 , 使得

我们选取 使得 由于 时有 , 因此

从而

即得 , 从而 . Q.E.D.

推论: 设 为完备可分度量空间, 为 Hausdorff 空间, 连续, 为 上的测度, 且任意 闭子集均 可测, 则 的任意 Borel 子集在 下的像均 可测.

实际上证明这个推论, 是历史上最开始人们引入 Suslin 集的动机.