量子力学入门

每日一句

A real friend is one who walks in when the rest of the world walks out. — Walter Winchell

本文大纲如下：

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本文我们回归量子力学在数学物理中的前置内容，并引入Dirac符号体系，未来将借助这套体系对经典概率的扩展，来探讨下概率推理。 同时，本文是吴金闪教授量子力学课程的学习笔记，对Dirac符号体系相关推导大概理解即可，下节我们讨论量子计算相关内容。

科学

科学是运用科学方法得到的结果来描述和理解、回答和解决现实世界中的问题的心智模型。心智模型指的是你大脑里面关于这个世界这个现象是怎么回事如何运作的描述，一般还要求是可计算可推理的。心智模型得到的结果和实际上发生的系统的行为是相符的。

科学方法就是通过观察和实验对现象的特征做出确定和整理，然后运用人类思维的逻辑提出关于这个现象发生的原因以及条件等等的猜想，接着运用进一步的实验来检验这些猜想，并在得到验证的猜想的基础上通过逻辑上的推演来构造进一步的理论，然后把进一步的理论再放在观察和实验中检验的这样一个用来回答和解决现实世界的问题的方法。Popper提出科学知识的本质特征不是通常认为的可以得到验证的真理， 而是科学知识的可证伪性：也就是原则上存在被证明是错的可能性的，迄今为止又没有被证明是错的知识。

除了可检验或者可证伪的要求，科学还要有普适性：企图用更少的模型来描述更多的现实。

数学

数学是关于思维和逻辑的学科，是思维和逻辑的语言。同时也是描述这个世界的结构的语言。 数学本质上是对事物之间的联系的描述。事物通常用集合以及集合里面的元素来描述。而元素之间的关系，有的时候也称作结构，则通过映射来描述。

拿加法举例子：一个苹果+一个苹果=两个苹果。 定义一个苹果的集合 ，假设总数是有限个。所谓映射，就是把一个集合中的元素与另外一个集合中的元素联系起来。假设“一个苹果加上一个苹果等于两个苹果”，是集合 到 的映射。集合 的元素是一个又一个的苹果，尽管颜色大小酸甜等都可以不一样，但两个苹果绝对不是集合 中的元素。也就是说我们不是在计算苹果的加法。而是计算的是苹果的数量的加法。

从集合 开始，构造一个 的所有子集的集合——幂集 。取 中的元素 和 ，如果 ，也就是不相交没有共同的元素，则 必然是 中的元素，也就是 ，并且，如果定义集合的大小，也就是集合中元素的个数， ，有

加法是定义在苹果集合 的幂集上的计算，并且只考虑集合大小这个特性。换句话说苹果加法是没有共同元素的集合并运算。

集合本身在数学的逻辑框架之中是不能通过其它数学结构来定义的， 就是表示一个群体的对象。集合中的对象称为集合的元素。有了集合，我们来定义映射。

定义 映射：集合 A 与集合 B 之间的关系 f，如果对于任意一个集合 A 的元素 α 存在一个集合 B 的元素 β，使得 f (α) = β，就称为集合 A 与 B 之 间的映射。

基于集合，我们有了交、并、补、笛卡尔积、幂集等运算。同时结合映射，可以得到集合之间的关系 . 前面的加法也是映射中的一种。

但是单纯的集合间的映射是不足以描述复杂的现实世界，最多只能建立集合元素之间的对应关系。是否有稍微复杂一点的映射能够更多的描述现实世界，如集合自身的笛卡尔积到集合的映射，或者集合的幂集到自身的映射。前者对着线性空间和线性映射。也是现代数学的基础，线性代数和微积分也是数学成为其他科学基础和基本语言的原因之一。

微积分是描述累积量和变化率这个关系的语言，以及符合这个关系的一对或者多对量的语言。例如速度的时间累积是位移，力的空间累积是功 （势能），以及反过来，位移的时间变化率是速度，功（势能）的空间变化率是力。 分析的部分我们在此不进行赘述。

集合 A 与 B 的笛卡尔积积 是指集合 。 考虑一个从 到 G 的映射 。这个映射，记为 在一些最基本的要求下成了整个数学的基础：群.

定义 群：集合 G 配上映射 称为群，如果满足：(1) 结合律， ；(2) 集合存在单位元(夭元) 0， s.t. ；(3) 任何元素 存在逆元 。

其中， 成为群乘。如果只有条件 (1) 得到满足，则称 G（配上 ）为半群。我们可以发现我们所熟悉的整数配上加法运算构成了群，有理数去掉 0 以后配上乘法构成了群（0没有逆元）。

如果我们把所有的改变物体状态又保持某个层次的不变性的操作看成一个集合，那么这个集合显然对于连续的两个操作的结果是有定义的，也就是说连续两个操作的结果必须是这个集合中的某一个操作。这个就是群乘映射的原型。这也是为什么封闭性是最重要的要求的原因。有了这个封闭性之后，我们就可以把对物体状态的研究转变成为对操作的研究：所谓物体任意时候的状态， 就成了从某一个固定的初始状态出发，每次作用一次这些操作算符中的一个。

如果没有结合律， 那么 就可以解释成 ，也可以解释成 ，两者就有可能不一样。 这个时候，这些基本的运算就会变得非常复杂。封闭性和结合律，是很多运算非常重要的性质。

实数集合上由于同时有加法和乘法运算的存在，其结构要比群丰富的多，因此被称为域。这里给出域的定义，但是我们不详细讨论。

定义 域：集合 F 上定义了加法运算 和乘法运算 ，其中 F, + 和 F/ {0} , × 构成交换群，其中 0 是加法运算的单位元，而且加法和乘法之间满足分配律：(a + b) × c = a × c + b × c。

可以验证有理数、实数、复数都满足这个条件。

线性代数

在线性代数里, 我们通常把一个形如 的列矢量称为矢量。在多元微积分或者矢量微积分里面, 我们也常常把一个位置矢量写作 , 然后我们说 是这个矢量 的 方向上的分量。有的时侯, 我 们也把这个关系写作,

在后面的表达式里面, 是矢量, 是数, 表示一个数乘。这个时侯, 不再是矢量, 而是 这个矢量在 这三个矢量构成的基矢下的分量。

如果存在另外一套不一样的基矢 , 那么我们自然可以通过代人 (同时也需要 ) 在新的基矢 下的表达式一形如 , 从而得到矢量 在新的基矢下的分量形式。这样完成了基矢转换的过程。 不再是矢量, 才是矢量。

为了节省空间, 列矢量写作行矢量的转置, 例如 仅仅是抽象矢量 在某一套基矢 下的分量形式。在这里, “抽象" 的含义是, 我们不能写出它的一般表达式, 也想象不出来, 除非给我们一组基矢。更一般地来说, 以 及 的含义可以是位置矢量、速度矢量、力矢量, 也可以是更一般的矢量。例如, 一定条件下三角函数可以看作基矢。 也就是 Fourier 级数和 Fourier 变换背后的数学结构。

矢量不仅仅一个从原点出发到空间某一个位置的位置矢量，矢量还具有一般性。例如，实数域上的函数 配上合适的运算，也可以成为矢量。矢量能够表示方向， 能够被放大缩小，两个矢量放在一起能够做叠加运算。只要我们做出来的满足上面两点要求，基本上就能够看成矢量的模型。

定义 数域 上的矢量：集合 V 上定义了加法运算 和数乘运算 满足下列属性： (1) 加法运算“+”构成交换群；(2) 加法运算“+”与数乘运算“·”满足双向分配律： ； (3) 上的乘法单位元与 上的运算的统一性 ； (4) 混合结合律， ，这实际上是保证矢量与数的数乘和数域上的乘法的一致性。

在这里“数域”保证了数之间的加法和乘法要满足作为一个“域” 的基本要求。用拉丁字母表示数域 中的元素，用希腊字母表示矢量集合 中的元素。当我们利用这个约定之后，数乘运算的符号“·” 就可以被省略，数乘的数既可以被放在左边，也可以被放在右边。在这个定义中，双向分配律是很重要的，是线性性的保证。所谓一个运算的线性性就是当被操做的对象发生了线性的变化，那么操作结果也相应会发生线性的变化： 。这里这个 运算可以是数乘自己。把满足这些要求的集合以及集合上的运算就称为矢量空间或者线性空间。

1. 本身是一个域：元素的加法乘法有定义，且满足域的要求
2. 加法与数乘的封闭性：
3. 加法交换律：
4. 零元存在：
5. 逆元存在：
6. 加法结合律：
7. 双向分配律:
8. 数乘单位元一致性：
9. 混合结合律一致性：

我们可以看到，这个线性空间的定义就是一个交换群加上一个数域，然后定义好相容的一致的两者结合的操作：数乘。

一个内积的是指从 到 的映射，通常记为 ，其中两个“·” 就是留给两个矢量的位置，满足以下要求：

1. 封闭性：
2. 线性性：
3. 长度大于等于零： ，取等号当且仅当
4. 复共轭：

当我们把线性性与复共轭结合之后，我们看到，内积对于左边的矢量的线性性与右边的矢量的线性性不太一样：

. 如果数域 中， ，那么实际上内积对左边和右边的矢量的线性性就是相同的。 和 的集合为 和 。我们发现 V 与 以及 之间存在着可逆映射，也就是有一个 （ ）中的元素就有一个 V 中的元素。 我们说 。这个定义第一满足线性空间的要求，第二满足与 V 上的加法与数乘的一致性。首先，这个运算是封闭的： 。其次，我们来检验一下分配律。对于任意 V 中的元素 ， 我们有 ，因此， ，满足一侧的分配律。另外一侧也能类似证明。其它性质就不一一证明了。 在这里我们看到，实际上 上的加法和数乘实际上就是 V 的加法和数乘。 我们说 不仅与 V 一一对应，连所有的运算都一模一样。于是，我们发 现，实际上 就是 的另一个写法，也就是说 就是 V。 我们再来看看 与 V 的关系，。我们定义 中的加法与数乘： 。这个定义第一满足所有的线性空间的要求，第二满足与 V 上的加法与数乘的一致性。首先，这个运算是封闭的： 。其次，对于任意 V 中的元素 ，我 们有 ，因此， ，满足一侧的分配律。另外一侧也能类似证明。其它性质就不一一证明了。其次，如果我们把这个 中的矢量映射回 V 中的矢量，加法和数乘还是不是 V 的加法和数乘。 为了解决这个问题，我们考虑 与 的关系，反正 就是 V。我们发现 与 的关系就是把矢量从放在内积算符的左侧改成放在内积算符的右侧。同时由于这个变换，矢量空间 中的元素的数乘需要把数变成复共轭之后再与矢量乘在一起。这个意义上，我们把 = V 中的元素称为右矢量，而把 中的元素称为左矢量。为了简化记号，记右矢量，左矢量分别为

同时内积的记号也可以相应记为

这个记号称为Dirac 符号，也称为 bra-ket 记号，从现在开始，我们所有的矢量都用Dirac 符号来表示。

这种用加括号明确标出矢量符号的方式还有一个好处：明确区分矢量与矢量在某坐标系下的分量。例如, 以前我们经常以分量的形式来写下面的矢量,

这时, 我们默认 与 是两个坐标基矢, 然后整体矢量 是这个两个基矢叠加起来的结果。

换句话说， 与 是两个坐标基矢在某一套坐标系下的投影分量形式, 而 是这个合起来的矢量在同样的坐标系下的分量形式。例如, 记这个坐标系的两个正交归一（任意两个基矢 和 之间满足 ）基矢分别为 和 , 则 可以看做是

其中 是两个基矢排成的行矢量。于是, 一般地,

在这个符号系统里面, 内积不再是坐标分量之间的运算, 而是矢量之间的运算,

如果通过坐标变换下分量的变换形式来定义矢量，我们不能写下一个矢量的等式，而只能够写下分量的等式，例如对于新坐标的分量形式 通过某一个相似变换与旧坐标下的形式联系起来，

而我们现在, 抽象矢量是有定义的, 我们能够写出矢量的等式

于是, 自然的我们就有,

于是,

而且矢量分量的定义就是矢量与基矢之间的内积,

有了这个记号，我们可以说：矢量在坐标变换下是不变的，标量和张量在坐标变换下也是不变的，改变的仅仅是分量形式。因为矢量不是数，数仅仅是矢量在某坐标系下的分量形式。

有了抽象记号以后, 我们还可以讨论以下符号的意义：给定 , 定义

用通常的线性代数的语言, 这是矩阵, 表示一个列向量 (右矢) 乘上一个行向量 (左矢), 得到一个矩阵。按照我们新的记号系统, 我们来看如果我们把这个东西作用在 的元素上, 我们的到什么。

所以, 是 到 的一个映射。同样的, 如果我们把左矢放在这个东西的左边, 我们看到 是 到 的一个映射。如果我们考虑把所有的这样的映射放在一起构成的集合 , 我们可以讨论这个集合上的与 相一致的加法与数乘。这个就是 上的线性算符构成的集合。 我们来看一下这个集合的结构。

定义 线性算符: 是一个从线性空间 到 的线性映射满足如下线性性要求:

记所有的这样的线性算符的集合为 。

可以看到前文提到的算符 。给定任何一个算符 , 只要知道 如何做用在所有的基矢上, 就知道了 如何作用在所有的矢量上:

如果我们把这个矢量也做同样基矢下的展开, 其分量为,

总结一下, 如果知道了所有的 我们就知道了 , 于是相当于知道了 作用在任何一个矢量上的结果, 也就是知道了 。这个时候, 我们把所有的这些 记录成一个矩阵,

如果我们得到了这个矩阵的所有元素, 那么我们就实际上知道了算符 。从这个意义上说, 矩阵就是我们的算符在某一套坐标下的表现形式。对于一套完整的正交归一基矢 ,

在一套正交归一基矢下, 只有对角元的而且对角元素值为 1 的矩阵, 必然是单位矩阵。对任意 中的矢量 , 我们证明 作用的结果是 :

有了这个等式之后, 我们来重新算一下算符 的分量形式,

从这个表达式, 我们非常清楚地看到矩阵 与算符 的联系：矩阵元素是 抽象算符在这一套基矢下的分量形式。由于任何一个线性算符都可以用 个算符 线性叠加, 构成了 维的矢量空间。同时可以定义这个空间上的内积, 例如

是 到 的映射, 由于 、 存在一一映射 , 于 是, 通过 可以构造一个 到 的映射, 记为 的共轭算符 (对于无限维空间, 我们需要区分共轭算符与伴算符) 。

也就是

这里的计算顺序是从左边开始的。也就是 算符是作用在左边的, 到 的映射。我们看一看能不能让这个算符也做用在右边。按照线性代数的符号, 矩阵可以左乘矢量, 也可以右乘矢量。也就是说, 我们希望得到 的定义。利用基矢