宫水三叶的刷题日记
2022/11/12阅读：18主题：全栈蓝
790. 多米诺和托米诺平铺 : 简单状态机 DP 运用题
题目描述
这是 LeetCode 上的 「790. 多米诺和托米诺平铺」 ，难度为 「中等」。
Tag : 「状态机 DP」
有两种形状的瓷砖：一种是 2 x 1 的多米诺形，另一种是形如 "L" 的托米诺形。两种形状都可以旋转。
给定整数 n ，返回可以平铺 2 x n 的面板的方法的数量。返回对
取模 的值。
平铺指的是每个正方形都必须有瓷砖覆盖。两个平铺不同，当且仅当面板上有四个方向上的相邻单元中的两个，使得恰好有一个平铺有一个瓷砖占据两个正方形。
示例 1: 
输入: n = 3
输出: 5
解释: 五种不同的方法如上所示。
示例 2:
输入: n = 1
输出: 1
提示：
状态机 DP
定义 为无须考虑前 列（含义为前 列已铺满），当前第 列状态为 时的方案数。
其中 取值范围为 分别对应了当前列的填充情况：
为了方便，我们人为规定列数从 开始。
由于骨牌只能在 的棋盘内填充（不能延伸出棋盘两端），因此我们有显而易见的初始化状态：
分别对应「第一列不放置任何骨牌」和「第一列竖着放一块 骨牌」合法方案。
而 和 由于没法在棋盘左侧以外的位置放置骨牌，不存在合法方案，其值均为 。
同时可知 为我们最终答案，含义为所有列都恰好铺完，不溢出棋盘右侧位置。
不失一般性考虑 该如何计算，其实就是一个简单的状态机转移分情况讨论：
-
: 需要前 列铺满，同时第 列没有被铺，只能由 转移而来，即有
❝
这里需要尤其注意：虽然我们能够在上一步留空第 列，然后在 列竖放一块 的骨牌（如下图）
❞
❝
但我们不能从 转移到 ，因为此时放置的骨牌，仅对第 列产生影响，不会对第 列产生影响，该决策所产生的方案数，已在 时被统计
❞ -
: 可由 转移而来（见下图），其中 ，即有
-
: 可由 和 转移而来
-
: 可由 和 转移而来
Java 代码：
class Solution {
int MOD = (int)1e9+7;
public int numTilings(int n) {
int[][] f = new int[n + 10][4];
f[1][0] = f[1][1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
f[i][0] = f[i - 1][1];
int cur = 0;
for (int j = 0; j < 4; j++) cur = (cur + f[i - 1][j]) % MOD;
f[i][1] = cur;
f[i][2] = (f[i - 1][0] + f[i - 1][3]) % MOD;
f[i][3] = (f[i - 1][0] + f[i - 1][2]) % MOD;
}
return f[n][1];
}
}
TypeScript 代码：
function numTilings(n: number): number {
const MOD = 1e9+7
const f = new Array<Array<number>>()
for (let i = 0; i <= n; i++) f[i] = new Array<number>(4).fill(0)
f[1][0] = f[1][1] = 1
for (let i = 2; i <= n; i++) {
f[i][0] = f[i - 1][1]
let cur = 0
for (let j = 0; j < 4; j++) cur = (cur + f[i - 1][j]) % MOD
f[i][1] = cur
f[i][2] = (f[i - 1][0] + f[i - 1][3]) % MOD
f[i][3] = (f[i - 1][0] + f[i - 1][2]) % MOD
}
return f[n][1]
}
Python3 代码：
class Solution:
def numTilings(self, n: int) -> int:
f = [[0] * 4 for _ in range(n + 10)]
f[1][0] = f[1][1] = 1
for i in range(2, n + 1):
f[i][0] = f[i - 1][1]
f[i][1] = sum([f[i - 1][j] for j in range(4)])
f[i][2] = f[i - 1][0] + f[i - 1][3]
f[i][3] = f[i - 1][0] + f[i - 1][2]
return f[n][1] % 1000000007
-
时间复杂度： -
空间复杂度：
滚动数组优化
利用 仅依赖于 ，我们可以采用「滚动数组」方式将其空间优化至 。
Java 代码：
class Solution {
int MOD = (int)1e9+7;
public int numTilings(int n) {
int[][] f = new int[2][4];
f[1][0] = f[1][1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
int a = i & 1, b = (i - 1) & 1;
f[a][0] = f[b][1];
int cur = 0;
for (int j = 0; j < 4; j++) cur = (cur + f[b][j]) % MOD;
f[a][1] = cur;
f[a][2] = (f[b][0] + f[b][3]) % MOD;
f[a][3] = (f[b][0] + f[b][2]) % MOD;
}
return f[n & 1][1];
}
}
TypeScript 代码：
function numTilings(n: number): number {
const MOD = 1e9+7
const f = new Array<Array<number>>()
for (let i = 0; i <= 1; i++) f[i] = new Array<number>(4).fill(0)
f[1][0] = f[1][1] = 1
for (let i = 2; i <= n; i++) {
const a = i & 1, b = (i - 1) & 1
f[a][0] = f[b][1]
let cur = 0
for (let j = 0; j < 4; j++) cur = (cur + f[b][j]) % MOD
f[a][1] = cur
f[a][2] = (f[b][0] + f[b][3]) % MOD
f[a][3] = (f[b][0] + f[b][2]) % MOD
}
return f[n & 1][1]
}
Python3 代码：
class Solution:
def numTilings(self, n: int) -> int:
f = [[0] * 4 for _ in range(2)]
f[1][0] = f[1][1] = 1
for i in range(2, n + 1):
a, b = i & 1, (i - 1) & 1
f[a][0] = f[b][1]
f[a][1] = sum([f[b][j] for j in range(4)])
f[a][2] = f[b][0] + f[b][3]
f[a][3] = f[b][0] + f[b][2]
return f[n & 1][1] % 1000000007
-
时间复杂度： -
空间复杂度：
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.790 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
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