张春成
2023/01/24阅读:44主题:默认主题
Gamma 函数
一些与 Gamma 函数有关的分析和证明
与 Gamma 函数有关的分析和证明,它在二项分布族的概率密度函数计算中十分有用。
Gamma 函数
函数是广义积分函数
其中, 。 但是为了避免问题变得过于复杂,我们只考虑实数域的问题。
通过积分的计算,我们不难得出一些有意思的性质,它们包括但不限于
以上等式可以用于计算正态分布的累积积分,这其实就简单地解决了“正态分布”概率密度函数的积分为
Sterling 公式
待完善。
A_Very_Short_Proof_of_Stirling[1]
卡方分布的概率密度函数
卡方分布变量的表达式为
其中,
为了证明这件事情,我们需要分两步来进行,首先计算卡方分布的形状;之后计算归一化系数,满足概率密度函数和为
函数形状
由于卡方分布中,存在r个服从正态分布的随机变量,且它们相互独立,可知它们的联合分布有如下关系
这里就需要一点想象力,我们可以把卡方分布的概率密度函数,想象成高维(
其中,
代入累积函数,可得
对
进行变量代换
即
为了简化推导,我在推导过程中消去了常数项,这样做是不影响函数形状的。
归一化系数
既然,我们已经计算得到了卡方分布概率密度函数的形状。下一步只需要计算归一化系数
我们从看似八秆子打不着的
再做代换
该方程左侧即为待求系数
T 分布的概率密度函数
T 分布表达式为
其中,
我们同样采用两步法来进行证明。
函数形状
我们的目的是要证明
首先综合正态分布和卡方分布的概率密度函数,可得
为了满足 T 分布的定义式,需要有如下约束
因此,有如下偏导数关系成立
此时,下式总能成立
我们将约束关系代入原
对
使用变量代换
不难发现,最后一项为
证明完毕。
归一化系数
为了求得归一化系数,我们使用变量代换
代入
经过简单的推导,以上积分式可以简化为下式的形式
其中,
Beta Function -- from Wolfram MathWorld[2]
Beta 函数与
因此,归一化系数如下式所示
证明完毕。
参考资料
A_Very_Short_Proof_of_Stirling: https://www.researchgate.net/publication/237571154_A_Very_Short_Proof_of_Stirling%27s_Formula
[2]Beta Function -- from Wolfram MathWorld: https://mathworld.wolfram.com/BetaFunction.html
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