一些与 Gamma 函数有关的分析和证明

与 Gamma 函数有关的分析和证明，它在二项分布族的概率密度函数计算中十分有用。

Gamma 函数

Gamma 函数

函数是广义积分函数

其中，。但是为了避免问题变得过于复杂，我们只考虑实数域的问题。

通过积分的计算，我们不难得出一些有意思的性质，它们包括但不限于

以上等式可以用于计算正态分布的累积积分，这其实就简单地解决了“正态分布”概率密度函数的积分为的问题。

Sterling 公式

待完善。

A_Very_Short_Proof_of_Stirling^[1]

卡方分布的概率密度函数

卡方分布变量的表达式为

其中，，且相互独立。卡方分布的概率密度函数为

为了证明这件事情，我们需要分两步来进行，首先计算卡方分布的形状；之后计算归一化系数，满足概率密度函数和为的约束关系。

函数形状

由于卡方分布中，存在r个服从正态分布的随机变量，且它们相互独立，可知它们的联合分布有如下关系

这里就需要一点想象力，我们可以把卡方分布的概率密度函数，想象成高维（维）空间中球的表面，我们使用R来表示该球体的半径。则该“球”的体积可以用于表示该分布的累积函数

其中，代表球体。积分微元与半径之间满足如下关系

代入累积函数，可得

对进行偏微分，可得

进行变量代换，可得

即

为了简化推导，我在推导过程中消去了常数项，这样做是不影响函数形状的。

归一化系数

既然，我们已经计算得到了卡方分布概率密度函数的形状。下一步只需要计算归一化系数，使其满足下式

我们从看似八秆子打不着的函数开始，

再做代换，可得

该方程左侧即为待求系数的倒数。至此，卡方分布的概率密度函数证明完毕。

T 分布的概率密度函数

T 分布表达式为

其中，，，记为。T 分布的概率密度函数为

我们同样采用两步法来进行证明。

函数形状

我们的目的是要证明

首先综合正态分布和卡方分布的概率密度函数，可得

为了满足 T 分布的定义式，需要有如下约束

因此，有如下偏导数关系成立

此时，下式总能成立

我们将约束关系代入原式，并乘以雅可比行列式系数，可得

对求积分可得

使用变量代换，可得

不难发现，最后一项为函数，因此

证明完毕。

归一化系数

为了求得归一化系数，我们使用变量代换，可知

代入的函数形状表达式，可得

经过简单的推导，以上积分式可以简化为下式的形式

其中，代表Beta函数。

Beta Function -- from Wolfram MathWorld^[2]

Beta 函数与函数有如下关系

因此，归一化系数如下式所示

证明完毕。

参考资料

[1]

A_Very_Short_Proof_of_Stirling: https://www.researchgate.net/publication/237571154_A_Very_Short_Proof_of_Stirling%27s_Formula

[2]

Beta Function -- from Wolfram MathWorld: https://mathworld.wolfram.com/BetaFunction.html