贝特朗悖论

0 贝特朗简介

贝特朗悖论（Bertrand Paradox）^[1]，法国数学家贝特朗（也翻译为“伯特兰”）于 1888 年在他的著作《Calcul des probabilités》中提到的。

约瑟·路易斯·弗朗索瓦·伯特兰（Joseph Louis François Bertrand）^[2]：1822年3月11日－1900年4月5日

注：特地考证了一下，应该就是博弈论中，或者说经济学课中伯特兰德模型（Bertrand model）的建立者。

伯特兰德模型（Bertrand model）^[3]，法国经济学家约瑟夫·伯特兰德(Joseph Bertrand)于 1883 年建立。古诺模型和斯塔克尔伯格模型都是把厂商的产量作为竞争手段，是一种产量竞争模型，而伯特兰德模型是价格竞争模型。

1 问题描述

在半径为 的圆 内“随机”地画一条弦 。问弦长 大于 （即这个圆的内接正三角形的边长）的概率是多少？

资料来源：《概率、随机变量与随机过程》^[4] （Athanasios Papoulis）P11-12，第1章 概率的意义，1-2.概率的各种定义。

Athanasios Papoulis^[5] & S. Unnikrishna Pillai, Probability, Random Variables and Stochastic Processes. Fourth edition, Mc Graw Hill, 2002.

2 问题求解

• 解法一：“随机半径”

弦 的方向是“随机”的。 只要看其中一个方向（与下图中 垂直方向）即可，在这个方向上的弦只要位于 和 之间，则就能满足 ，其中 。 这样，我们只要计算弦 在 之间的概率即可：

• 解法二：“随机端点”

弦 的端点 是一个“随机点”。

只要看另一个端点 的位置即可。 落在下图中的弧 上，则就能满足 ，其中 ，得到弧 长度为 。 这样，我们只要计算断点 弧落在 上的概率即可：

• 解法三：“随机中点”

弦 的中点 是一个“随机点”。

只要 在圆 内（见下图，其中 的半径为 ），则就能满足 。 这样，我们只要计算中点位于圆 内的概率即可：

3 悖论不悖

同一问题有三种不同答案，究其原因在于圆内“取弦”时规定尚不够具体，不同的“等可能性假定”导致了不同的样本空间，具体如下：其中“均匀分布”应理解为“等可能取点”。

解法一中假定弦的中点在直径上均匀分布，直径上的点组成样本空间 .

解法二中假定弦的另一端在圆周上均匀分布，圆周上的点组成样本空间 .

解法三中假定弦的中点在大圆内均匀分布，大圆内的点组成样本空间 .

可见，上述三个答案是针对三个不同样本空间引起的，它们都是正确的，贝特朗悖论引起人们注意，在定义概率时要事先明确指出样本空间是什么。

三种方法得出的弦中点分布和弦分布模拟如下图所示：

4 结论

如果脱离了具体的实验，“随机”本身是没有任何意义。正如案例中我们无法定义一条“随机的弦”，但可以定义“实验”中，弦的中点位置随机，端点位置随机等等。联想到物质和意识的关系，单独存在的意识也是没有任何意义的，只有基于某个具体的物质（意识空间）时，意识才会成为确定的意识。 否则也会有“悖论”出现。

比如“左”和“右”，本身并无意义，当你告诉别人那家咖啡店在马路的左边，对方会一脸懵圈，因为“左”是需要基于某个有“方向”的物体相对而言的，而无法单独存在。你可以改说：你从南往北走的话，那家咖啡店在马路的左边。

之前看过一部电影，《致命ID（Identity ）》^[6]，主人公在自己的意识空间里进行了一场正邪对战。我当时的感想是：

“

物质映射到意识空间，成为了故事；而意识映射到意识空间，又会成为什么？

参考资料

[1]

知乎（什么是贝特朗悖论？为什么会有贝特朗悖论？）: https://www.zhihu.com/tardis/bd/ans/769622492

[2]

百度百科（贝特朗）: https://baike.baidu.com/item/%E7%BA%A6%E7%91%9F%C2%B7%E4%BC%AF%E7%89%B9%E5%85%B0/10937485?fr=aladdin

[3]

百度百科（伯特兰德模型）: https://baike.baidu.com/item/%E4%BC%AF%E7%89%B9%E5%85%B0%E5%BE%B7%E6%A8%A1%E5%9E%8B/10152906?fr=aladdin

[4]

参考文献: A.帕普力斯著,谢国瑞等译.概率随机变量与随机过程[M].高等教育出版社,1983.

[5]

帕普里斯教授: 1921年出生于希腊，分别从雅典国家技术大学和美国宾夕法尼亚大学获得电子工程和数学学位。1952年到纽约布鲁克林工业大学开始任教，1994退休，2002年4月25日在美国长岛亨廷顿去世，享年81岁。https://download.csdn.net/download/qinweixing2006/10952177

[6]

百度百科（致命ID）: https://baike.baidu.com/item/%E8%87%B4%E5%91%BDID/7980915?fr=aladdin