几何测度论 (Federer) 笔记 04

Covering theorems

以下考虑空间上具有一个度量 的空间 , 且记

, . 并且假设 是 上的一闭集族, 为 上的测度, 且任意 上的开子集均 可测, 并且 上的所有有界子集均具有有限 测度.

称 finely 覆盖 , 当且仅当对任意 , , 存在集合 , 满足 .

称 对 是 adequate (足够) 的, 当且仅当对 的任意开子集 , 存在 的可数互不相交子族 , 满足

定理 2.8.2. 假设 是 上的一可数子集族, 并对任意 , 存在 , 满足 , 且成立如下性质: 对任意 的开子集 , 存在 的可数互不相交子族 , 使得

及

则 对 是 adequate 的.

推论 2.8.3. 若 对 可数族 中的每一个成员都是 adequate 的, 则 对于 是 adequate 的.

定理 2.8.4. 若 是 上的非负有界函数, , 则 存在互不相交子族 使得任意 , 存在 , 且

对任意 , 记其 enlargement

推论 2.8.5.

推论 2.8.6. 若 finely 覆盖 , 且 是 的任意有限子集, 则

定理 2.8.7. 若 finely 覆盖 , 为 上的非负有界函数, , , 且

对任意 , 为 的 enlargement, 则 对于 是 adequate 的.

例. 常取

当 为一族闭球, , 有

从而定理 2.8.7. 的不等式假设部分, 当 满足 diametric regularity (直径正则性) 条件:

时成立. 这个 diametric regularity 条件成立的一个充分条件是估计

对 及 成立, . 这样的测度例子包括 上的 Lebesgue 测度 , 以及 维黎曼流形上的 Hausdorff 测度 . 但是上述估计不成立的时候, diametric regularity 也可能成立, 例如 上的 Borel 测度 , 其中对任意 上的 Borel 子集 ,

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以下对测度 不作特殊要求, 但要求 为一族闭球, 使得 中任意点是 中某个成员的球心, 并且度量 , 满足 2.8.9. 中的几何条件.

2.8.9. 称 directionally limited at , 如果 , , , 为正整数, 满足: 如果 , , 且

对于任意 , , , , 且

则 .

例. 若 为有限维向量空间, 且

其中 是 上的任意范数, . 那么 directionally limited at , 对任意 , , 以及适当的 .

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设 为 , , 我们称这样的集合 是 控制的 (controlled), 如果对任意两个不同的 中的元素 , , 要么 , .

引理 2.8.10. 若 , , 且

则 存在子集 满足:

(1) 任意 的两个不同元素 , , 有 .

(2) 任意 , 存在 使得 , 且 .

定理 2.8.11. 假设 directionally limited at , 且

(这样的 存在因为 ). 若 为 的一个 控制子集, , 且

对任意 , 则 .

推论 2.8.12. 若 , 为 的 控制子集, 则族

为 个互不相交的子族的并集.

引理 2.8.13. 若 , , 且 , 则 有一个 控制子集 使得

定理 2.8.14. 若 directionally limited at , , 为一族半径不超过 的闭球, 且 中的任意点都是 中某个成员的球心, 则 包含于 个 的互不相交的子族的并集中.

推论 2.8.15. 当 可分, 且

则 对 是 adequate 的.

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一个covering relation (覆盖关系) 是指 的一个子集.

当 为一个 covering relation, 时, 令

称 在 处 fine, 如果

称 covering relation 为 Vitali relation, 如果 是一族 Borel 集, 在 中任意点处 fine, 且满足: 若 , , 在 任意点处 fine, 则 有一可数互不相交子族 几乎完全覆盖 .

称 几乎完全覆盖 , 如果 .

当 covering relation 在点 处 fine, 且 为 值函数, 记

为

类似定义 及 .

定理 2.8.17. 若 为 covering relation, 为一族有界闭集, 在 中每点处 fine, 为 上的非负函数, , 且对 几乎所有 ,

(见 2.8.4.), 则 是一个 Vitali relation.

定理 2.8.18. 若 为 可数集合族 的并集, 使得 directionally limited at 的任意成员, 且 可分, 则

为一个 Vitali relation.

定理 2.8.19. 假设 可分, , 为 的 Borel partitions, 使得 的任意成员有界, 的任意成员是 的某些子族的并集, 且

则 为一个 Vitali relation.