贝尔纲定理

泛函分析上会讲一个定理,叫做贝尔纲定理,这其实是一个拓扑学里的定理,但是似乎分析里用的比较多,一般的拓扑书上居然都不讲了.

我看拓扑群这书,上面出现了一个定义,叫贝尔性质(Baire property)

一个拓扑空间 具有贝尔性质,如果 能够表示成为可数个闭的无处稠密集的并

这显然和贝尔纲定理有一些关联.

什么是"纲集"?

为了弄清楚啥是贝尔纲定理,首先要明白什么是"纲集"

拓扑空间 中的集合 如果能够表示成为可数个无处稠密集合的并,则 就是第一纲集

而不是第一纲集的集合就是第二纲集.

什么是无处稠密(nowhere dense)集?

首先我们得明白啥是稠密集,对于拓扑空间X,X中的子集A是在X中稠密的,指的是X 中的任一个开集都与 A 的交非空,等价于 .

而无处稠密集的定义如下:

一个集合 A 是 无处稠密的,如果A的闭包 的内部是 空集,即

A是无处稠密集,指的是啥意思,似乎是在说集合A不能在任何其他集合中稠密?这里的其他集合存疑,但是A确实不能在任意开集中稠密.

若 在 开集 中稠密则 ,则 ,与 内部为空矛盾.

因为 ,所以一个集合是无处稠密的,等价于它的闭包的补集是稠密的.

贝尔纲定理

X 是一个非空的完备度量空间.如果

其中 是闭集.则至少有一个 包含非空的开子集.

下面采用反证法来证明该定理,

或许贝尔纲定理还有别的形式,但是这次就介绍到这里了.