淦数学

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2022/05/15阅读:16主题:草原绿

1977年北京高考数学真题

试卷综述

1977年北京数学真题文理试卷,难度不大,毕竟是恢复高考的首年,考察的知识点具体如下:

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整卷预览

理科试题

1.解方程

2.计算

3.已知 , ,求

4.证明

5.求过两直线 的交点且过 点的直线方程

6.某工厂今年七月份的产值为 万元,以后每月产值比上月增加 ,问今年七月份到十月份总产值是多少?

7.已知二次函数
(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程;
(2)画出它的图象;
(3)分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标.

8.一只船以 海里/小时的速度向正东航行,起初船在 处看见一灯塔 在船的北偏东 方向,一小时后船在 处看见这个灯塔在船的北偏东 方向,求这时船和灯塔的距离

9.有一个圆内接三角形 的平分线交 ,交外接圆于 ,求证:

10.当 取哪些值时,直线 与椭圆 有一个交点?有两个交点?没有交点?当它们有一个交点时,画出它的图象

11.【参考题】(1)求函数

的导数

(2)求椭圆 轴旋转而成的旋转体体积

12【参考题】(1)试用 语言叙述“函数 在点 处连续的定义。
(2)试证明:若 在点 处连续,且 ,则存在一个 ,在这个邻域内,处处有

文科试题

1.计算

2.化简

3.解方程

4.不查表求 的值

5.一个正三棱柱形的零件,它的高是 ,底面边长是 ,求它的体积

6.一条直线过点 ,并且与直线 平行,求这条直线的方程

7.证明:等腰三角形两腰上的高相等

8.为了测湖岸边 两点的距离,选择一点 ,测得 米, 米, ,求

9.在2和30中间插入两个正数,这两个正数插入后使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,求插入的两个正数?

10.已知二次函数 .
(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程;
(2)画出它的图象;
(3)求出它的图象与直线 的交点坐标

具有训练价值的题目如下表:

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正文

理科试题

1.解方程
  【解题笔记】根式方程,注意要有被开方需要非负,右边也需要非负,在这两个限制条件下,才能进行平方.

  • 根式方程类似问题
    • 1952·全国·4 若 ,问
    • 1958·全国·6 解方程组
  • 1960·全国·1 解方程 (限定在实数范围内)

2.计算
  【解题笔记】分数指数幂的计算,分母有理化;

  • 类似问题
    • 1953·全国·11 化简
    • 1954·全国·1 化简
    • 1957·全国·1 化简
    • 1964·全国·1 化简:

3.已知 , ,求
  【解题笔记】将根号45要写成分数指数幂的形式,然后对45进行质因数分解,利用对数运算性质,之后得到一个lg5,这是这个问题有意思的地方,题目中给的条件是lg2,考察你要用lg2表示lg5,这里要逆用对数运算性质,lg10=lg2+lg5,这个地方想通了,这道题目也就解决了

  • 类似问题
    • 1950·全国·19 若 , ,则 =()
      A.0.5770
      B.1.1038
      C.6.1038
      D.264.06
      E.416.74
    • 1951·全国·18 已知 ,求 .
    • 1953·全国·4 求
    • 1956·全国·1 利用对数性质计算 .
    • 1959·全国·1 已知 , ,求

4.证明
  【解题笔记】从左边出发,切化弦;从右边出发,弦化切。

  • 类似问题
    • 1950·全国·11 证明:
    • 1956·全国·5 设 , 是方程 的两根,求证: =
    • 1958·全国·2 求证

5.求过两直线 的交点且过 点的直线方程
  【解题笔记】第一种方法是直接法,直接把两条直线的交点求出来,然后利用两点式写出直线方程;第二种方法就是直线系的方法,将直线系设出来,然后将过得点带入,将参数求出即可

  • 历年与直线相关的问题
    • 1950·全国·4 的图形为()
      A.圆
      B.椭圆
      C.双曲线
      D.抛物线
      E.二平行直线
    • 1950·全国·6 二直线 相交的锐角的正切为____
    • 1951·全国·10 若一直线通过原点且垂直于直线 ,求直线的方程
    • 1952·全国·17 已知一直线经过(2,3),其斜率为-1,则此直线方程如何?
    • 1952·全国·19 原点至 的距离是什么?

6.某工厂今年七月份的产值为 万元,以后每月产值比上月增加 ,问今年七月份到十月份总产值是多少?
  【解题笔记】等比数列求和问题,首项是100,公比是1.2,项数是4.

  • 历年增加率类似问题
    • 1962·全国·1 某工厂第三年产量比第一年增长21%,问平均每年比上一年增长百分之几?又第一年的产量是第三年的产量的百分之几?(精确到1%)

7.已知二次函数
(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程;
(2)画出它的图象;
(3)分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标.
  【解题笔记】初三的知识点,第一问配方,第二问五点作图,第三问令 求解方程即可

8.一只船以 海里/小时的速度向正东航行,起初船在 处看见一灯塔 在船的北偏东 方向,一小时后船在 处看见这个灯塔在船的北偏东 方向,求这时船和灯塔的距离
  【解题笔记】根据题意画图如下:

几何画板作图
几何画板作图

根据题意直接可以知道三角 中的一些边角度数,然后利用正弦定理直接求解即可

  • 历年解三角形航海问题
    • 1960·全国·8 从一船上看到在它的南 东的海面上有一灯塔,船以 里/小时的速度向东南方向航行,半小时后,看到这个灯塔在船的正西,问这时船与灯塔的距离(精确到 里)
    • 1965·全国·2 在 处的甲船测得乙船在北偏西 处,以速度 里/小时向正北方向行驶,甲船立即从 处出发,以速度 里/小时向北偏西 度的方向沿直线驶去追赶乙船,问 是多大角度时,经过一段时间甲船能够在某 处恰好与乙船相遇?( , )

9.有一个圆内接三角形 的平分线交 ,交外接圆于 ,求证:
  【解题笔记】根据题意画出图形如下:

几何画板作图
几何画板作图

根据题意去证明 即可。

10.当 取哪些值时,直线 与椭圆 有一个交点?有两个交点?没有交点?当它们有一个交点时,画出它的图象
  【解题笔记】直线与椭圆方程联立即可,消去 ,得到关于 的一元二次方程,之后交点的个数即为方程解的个数。

【参考题】 11.(1)求函数

的导数

(2)求椭圆 轴旋转而成的旋转体体积
  【解题笔记】
(1)复合函数求导;
(2)定积分的运用,

【参考题】 12.(1)试用 语言叙述“函数 在点 处连续的定义。
(2)试证明:若 在点 处连续,且 ,则存在一个 ,在这个邻域内,处处有
  【解题笔记】
(1)高等数学基础知识,若对于任给的正数 ,总存在某一正数 ,使得当 时,总有 ,则称函数 在点 处连续;
(2)由已知 在点 处连续,且 ,所以,由定义可知,对于给定的 ,必存在 , 当 时,有 ,从而 即在 内处处有 .

文科试题

1.计算
  【解题笔记】指数幂计算

  • 类似问题
    • 1953·全国·11 化简
    • 1954·全国·1 化简
    • 1957·全国·1 化简
    • 1964·全国·1 化简:

2.化简
  【解题笔记】分母有理化

3.解方程
  【解题笔记】分式方程,去分母,得到结果一定要进行检验

  • 类似问题
    • 1953·全国·1 解

4.不查表求 的值
  【解题笔记】 ,利用两角和的正弦公式及特殊角三角函数。

  • 类似问题
    • 1950·全国·21 的值为_______
    • 1953·全国·5 求 =?
    • 1959·全国·4 求 的值

5.一个正三棱柱形的零件,它的高是 ,底面边长是 ,求它的体积
  【解题笔记】柱体体积计算。

6.一条直线过点 ,并且与直线 平行,求这条直线的方程
  【解题笔记】

7.证明:等腰三角形两腰上的高相等
  【解题笔记】画图,利用三角形全等或等面积法

8.为了测湖岸边 两点的距离,选择一点 ,测得 米, 米, ,求
  【解题笔记】余弦定理的直接运用。

  • 历年解三角形测量问题
    • 1961·全国·9 在平地上有 两点, 在山的正东, 在山的东南,且在 南300米的地方,在 测得山顶的仰角是 ,求山高(精确到10米, )
    • 1964·全国·2 甲乙两人在 点的河对岸的 点,甲向东走,乙向西走,甲每分钟比乙多走 米,10分钟后,甲看 在北偏西 度,乙看 在北偏东 度,求

9.在2和30中间插入两个正数,这两个正数插入后使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,求插入的两个正数?
  【解题笔记】设插入的数字为 , 根据等差中项、等比中项的定义列出方程组,解方程组,取正数。

10.已知二次函数 .
(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程;
(2)画出它的图象;
(3)求出它的图象与直线 的交点坐标
  【解题笔记】第一问,配方即可;第二问,五点作图;第三问,联立直线与二次函数,解方程组。

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