条件概率的计算方式

这是之前遗留的小问题，记录如下。

鉴于多元随机变量的条件概率公式并不直观，将分析过程详述如下多元高斯分布的概率密度函数为

其中，代表随机向量的可能取值，代表均值向量，代表协方差矩阵。这样做（即，使用符号）的原因是概率密度函数必然是归一化的，也既

因此，除了函数形状之外，我们无须过度关注常数项。将上式进行简化可得替身函数

其中，。现在假设我们有未知函数

还有观测到的样本值

对于样本值，我们显然可以直接写出它的多元高斯分布概率密度函数的替身函数

样本替身函数的指数部分可以展开为

其中，为简单起见用来表示。

而如果我们将未知函数与样本值联立，使

则有新的替身函数

其中，代表变量内协方差矩阵，代表变量间的协方差矩阵。函数替身函数的指数部分可以展开为

其中，为简单起见用来表示。逐项展开可得

我们只对其中含有的项感兴趣，其他项都可以最后归到常数项中，它总可以变换为新的二次型

因此，观测样本对未知函数均值的“贡献”为

此时使用条件概率公式

不难发现，条件概率的替身函数为

由于指数函数相除等价于指数相减，因此，我们可以利用替身函数的变换式，方便地得到新的均值向量和协方差矩阵

最后的工作就是如何将替身的协方差矩阵转换为真实协方差矩阵了，可以借用书中的推导结果

推导的依据为