MBS的负凸性

数学是一门严谨的学问，它里面有公理、有定理和推论。同样和数字有关的还有经济，也就是钱，但钱不怎么讲道理，即使负凸性是个描述函数趋势的概念，当它和经济上的 MBS 结合起来时，后者表现出来的负凸性却不是因为它服从数学定理，而是理性经济人的可预测行为的统计结果。

MBS的负凸性

Mortgage-backed securities

MBS 是一种特殊的有抵押债券，其实就是我们熟悉的按揭房贷。你向银行借钱，之后向银行缴纳月供，而银行之后的操作开始变得十分有趣。在银行眼中，这笔按揭是一笔“定期偿付”的债权。从最简化的观点来看，它可以表示成复利的形式

其中，代表利率，代表这笔按揭的周期。为了避免显得这种计算方式有过于草率之舆，在此解释如下，在等额本金还款方式下，每次月供可以拆解如下

由上述迭代方程可知，我们总可以将它的紧上限表示成总额（m）和当前价格（n）的函数，即复利的形式。

在美国那个神奇的国度，当有人背上了一笔按揭，他一般会在 5 年内还清贷款。在这种情况下，银行眼中的这笔按揭就是 5 年后清偿的定期债权（maturit bond）。

当然，银行的目的是挣钱，而不是拿着你的欠条发呆，因此在资本市场上这笔按揭就被当作一笔 5 年后清偿的定期债权。换句话说，它是金融衍生品，是有价证券。而由复利计算得到它在 5 年后清偿时的金额为，那么当下总可以用不高于的价格将它卖给投资者。

而卖给投资者的这个金融产生就是 MBS，它的负凸性也在投资者身上显现。为了说明这个问题，我们分别考察利率上涨和下降时的两种情况，看看投资者是怎么亏损的。

当利率上涨

首先，当利率上涨时，欠债的按揭购房人是十分高兴的，因为他通过按揭合同“锁定”了一个较低的利率。既然他目前的利率是较低的，那么还款周期越长对他越有利，因此他自然没有意愿提前还款，那么他的还款周期会相应拉长

在这种情况下必有，也就说我们的购房人把还款期限拖得越长，那么这笔按揭就越不值钱，这代表购入 MBS 的投资者就亏得越多。

当利率下降

相反，当利率下降时，购房人往往会以较低的新利率从别处贷入一些钱来早日归还高息按揭

虽然此时有，这表示数据显示投资者手中的 MBS 更值钱了，因为购房者会在很短的时间内清偿贷款。

这些钱要将 MBS 卖给别的投资者才能变现，但是很遗憾的是，他以这个价格去卖是不会有人买的。具体原因是这笔按揭不会凭空消失，而是通过借新债还旧债的方式偿还的，因此在其他投资者眼中，这笔按揭有另一个表达方式，它代表由这笔按揭还款而产生的另一笔按揭的价格

对于经济理性的人来说，这种借新债还旧债的方式通常是在一年之内完成，因此有。因此通常有

因此，我们可怜的投资人又赔了。此时我们看到，只要投资人买入了 MBS，那么不管按揭利率是升还是降，那么他的账面都会浮亏。这口倒扣下来的黑锅形状的趋势就称为负凸性，如下图虚线左侧部分所示。

从上述分析可知，由按揭合同衍生的资产在利率变动较大的环境下并不是很好的金融资产。究其原因是由于这种资产的收益不仅取决于利率浮动的方向和幅度，还取决于签订按揭合同的理性经济人的自主选择。由于他一定是趋利避害的，因此他会根据自己的利益选择延长或缩短还款期限。在久期变化的条件下，这种债券的利润就很难获得保障了。