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2022/07/18阅读:11主题:默认主题

未命名文章33

sin震荡函数的图像分析

对于\(\sin\frac{1}{x}\),当\(x\)从0的右侧附近逐渐靠近0时,\(\frac{1}{x}\)的变化是非常大的,比如当\(x\)\(\frac{1}{10}\)变小到\(\frac{1}{100}\),仅仅是\(\frac{9}{100} = \mathrm{\Delta}x = \frac{1}{10}\)-\(\ \frac{1}{100}\)的变化就会使得\(\frac{1}{x}\)由10变到100,而由\(\sin 10 = \sin\frac{1}{\frac{1}{10}}\)变到\(\sin 100 = \sin\frac{1}{\frac{1}{100}}\)实际上已经跨过了好几个\(sinx\)的周期(周期是\(2\pi \approx 6.18\)),因此\(\sin\frac{1}{x}\)\(\frac{1}{10}\)\(\frac{1}{100}\)之间多次往返于-1和1之间。总之,在0的附近微小的\(x\)变化会引起极大的\(\frac{1}{x}\)的变化,以至于会引起\(\sin\frac{1}{x}\)的变化跨越更多的\(sinx\)的周期,也就是说这种0附近微小的\(x\)变化会使得\(\sin\frac{1}{x}\)在-1和1之间往返很多次,当\(x\)变得越来越小时,\(\frac{1}{x}\)的变化幅度会越来越大,以至于\(\sin\frac{1}{x}\)的图像会更频繁地在-1和1之间往返或震荡,这就是其图像在0附近变得密密麻麻的原因。

图片包含 水, 桌子, 照片, 船 描述已自动生成

\(x\)为正且越来越大的时候,\(\frac{1}{x}\)越来越小,当\(\frac{1}{x}\)小于\(\pi\)时(此时由于\(x\)为正所以\(\frac{1}{x} > 0\)),这时候\(\sin\frac{1}{x}\)的值域就是\(sinx\)\((0,\pi)\)上的情况——函数图像为正,换句话说当\(x\)大于\(\frac{1}{\pi}\)\(\sin\frac{1}{x}\)的图像就一直为正,如下图所示。

图示 描述已自动生成1

另一方面,根据\(\lim_{x \rightarrow 0}\frac{sinx}{x} = 1\)\(\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\sin\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} = 1\),也就是说当\(x\)非常大的时候\(\sin\frac{1}{x}\)\(\frac{1}{x}\)的值便会非常接近,这就是为什么\(\sin\frac{1}{x}\)\(\frac{1}{x}\)的图像在\(x\)越来越大时会越来越靠近的原因。

图示 描述已自动生成

同样地我们还可以解释为什么\(x\)非常大时\({x^{2}\sin}\frac{1}{x}\)\(x\)的图像非常接近(这种情况下\({x^{2}\sin}\frac{1}{x} \approx {x^{2} \times}\frac{1}{x} = x\))。

图表, 折线图 描述已自动生成

对于\(x\)为负的情况,我们可以简单地根据\(\sin\frac{1}{x}\)为奇函数这个性质得出相应的情况。


  1. Introduction to Calculus and Analysis Volume I, Reprint of the 1989 edition, Richard Courant, Fritz John, p38↩︎

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