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2022/12/06阅读:21主题:默认主题

Black-Scholes模型与Black-Scholes公式

Black-Scholes模型假设标的资产的价格 符合:

其中 为无风险利率, 为波动率, 为风险中性测度 下的布朗运动。

通过伊藤公式可以得到:

在这个设定下,对于任意的

因此 是概率测度 下的鞅。

考虑一个以 为标的资产的欧式看涨期权(European call option),到期日为 ,执行价格(strike price)为 。根据风险中性定价公式,其 时刻的价格为:

注意到:

其中 符合标准正态分布。

把这些结果代入 的公式中,利用标准正态分布的概率密度计算期望,另外把 记为

被积函数不为 的条件为:

即:

记作 ,上述条件即为:

继续化简 可得:

其中:

注意到

所以:

其中 是标准正态分布的累积概率分布函数,

另外:

结合起来,我们就得到了欧式看涨期权的Black-Scholes公式:

按照类似的步骤,我们也可以得到欧式看跌期权的Black-Scholes公式:

分类:

数学

标签:

数学

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