Black-Scholes模型与Black-Scholes公式

Black-Scholes模型假设标的资产的价格 符合：

其中 为无风险利率， 为波动率， 为风险中性测度 下的布朗运动。

通过伊藤公式可以得到：

在这个设定下，对于任意的 ，

因此 是概率测度 下的鞅。

考虑一个以 为标的资产的欧式看涨期权（European call option)，到期日为 ，执行价格(strike price)为 。根据风险中性定价公式，其 时刻的价格为：

注意到：

其中 符合标准正态分布。

把这些结果代入 的公式中，利用标准正态分布的概率密度计算期望，另外把 记为 ：

被积函数不为 的条件为:

即：

把 记作 ，上述条件即为：

继续化简 可得：

其中：

注意到

所以：

其中 是标准正态分布的累积概率分布函数，

另外：

把 ， 结合起来，我们就得到了欧式看涨期权的Black-Scholes公式：

按照类似的步骤，我们也可以得到欧式看跌期权的Black-Scholes公式：