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2022/12/06阅读:21主题:默认主题
Black-Scholes模型与Black-Scholes公式
Black-Scholes模型假设标的资产的价格 符合:
其中 为无风险利率, 为波动率, 为风险中性测度 下的布朗运动。
通过伊藤公式可以得到:
在这个设定下,对于任意的 ,
因此 是概率测度 下的鞅。
考虑一个以 为标的资产的欧式看涨期权(European call option),到期日为 ,执行价格(strike price)为 。根据风险中性定价公式,其 时刻的价格为:
注意到:
其中 符合标准正态分布。
把这些结果代入 的公式中,利用标准正态分布的概率密度计算期望,另外把 记为 :
被积函数不为 的条件为:
即:
把 记作 ,上述条件即为:
继续化简 可得:
其中:
注意到
所以:
其中 是标准正态分布的累积概率分布函数,
另外:
把 , 结合起来,我们就得到了欧式看涨期权的Black-Scholes公式:
按照类似的步骤,我们也可以得到欧式看跌期权的Black-Scholes公式:
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