淦数学

V1

2022/05/12阅读:45主题:草原绿

1965年高考数学真题

文章目录

整卷预览

1.如图所示的二视图表示的立方体是什么?求出它的体积

几何画板作图
几何画板作图

2.在 处的甲船测得乙船在北偏西 处,以速度 里/小时向正北方向行驶,甲船立即从 处出发,以速度 里/小时向北偏西 度的方向沿直线驶去追赶乙船,问 是多大角度时,经过一段时间甲船能够在某 处恰好与乙船相遇?( , )

正弦对数表
正弦对数表
几何画板作图
几何画板作图

3.把地球看作半径为 的球,设 两地纬度相同,都是 度,它们的经度相差 ,求 两地之间的球面距离

几何画板作图
几何画板作图

4.(1)证明 ( 为任意值)
   (2)已知 为任意正整数,用数学归纳法证明 ($x为任意值)

5.已知一点P的坐标是 ,直线 的方程是 ,曲线 的方程是 ,求经过 点而与 垂直的直线和曲线 的交点的坐标,并画出此题的略图

6.当 是什么实数时,方程 与方程 有一公共根?

7.已知抛物线
   (1)在抛物线上任取二点 ,经过线段 的中点作直线平行于抛物线的轴,和抛物线交于点 ,证明 的面积为
   (2)经过线段 的中点分别作直线平行于抛物线的轴,与抛物线依次交于 ,试将 的面积和用 , 表示出来
   (3)仿照(2)又可做出四个更小的三角形,如此继续下去可以做一系列的三角形,由此设法求出线段 与抛物线所围成的图形的面积"

8.(附加题)(1)已知 为实数,证明 均为正整数的充要条件是


   (2)已知方程 的三根 都是实数,证明 是一个三角形的三边的充要条件

试卷综述

这套试卷只有8道题,第一道是立体几何中的视图问题,这个在现行高考中已经删除了,不再做要求了,试卷难度比较大,开发思维,有些题目很有挑战性,具体知识点的分布如下表:

表格来自自己整理
表格来自自己整理

亮点试题

第三题,球面三角形的距离,很需要空间想象能力的,要理解经纬度在球中的所表示的哪个角,其次要找到相应的大圆;
第七道,圆锥曲线与数列相结合起来考察,计算量大,需要细心细心再细心,很容易出错。

有训练价值的问题及适用范围

正文

1.如图所示的二视图表示的立方体是什么?求出它的体积

几何画板作图
几何画板作图


  【解题笔记】根据视图,还原得到的几何体是一个正六棱锥,棱长为 ,底面边长为

2.在 处的甲船测得乙船在北偏西 处,以速度 里/小时向正北方向行驶,甲船立即从 处出发,以速度 里/小时向北偏西 度的方向沿直线驶去追赶乙船,问 是多大角度时,经过一段时间甲船能够在某 处恰好与乙船相遇?( , )

几何画板作图
几何画板作图


  【解题笔记】根据题意可知 ,设经过 小时能相遇,那么就可以得到 中各边的表示,之后再利用正弦定理,得到这样的方程: ,这个方程的求解,先左右两边同时取对数,之后正弦函数对数表,查出角度,进而得到角 的大小。

正弦对数表
正弦对数表

3.把地球看作半径为 的球,设 两地纬度相同,都是 度,它们的经度相差 ,求 两地之间的球面距离

几何画板作图
几何画板作图

  【解题笔记】首先知晓一下:球面上的两点间的距离为过这两点的大圆(大圆指的是过球心的圆)的圆弧的长。那么 两点间球面距离为过 所作之大圆的圆弧 的长,设其长为 ,且设 .现在只需将 角求出即可。也就是说要把 角用 来表示。这些量的联系都跟边 有关,所以下面就是将边 表示,然后再用 表示,这两个相等,就可以解决问题了。
   中,现在分别对这两个三角形进行考虑:


已知: ,
由此可知:


其实就是 两点的経度差,所以
的长度就是 两点所在纬线圈小圆的半径,设 分别为赤道平面上与点 同经度的两点,则有: ,在图中 为极轴,显然有 ,那么在直角 中, ,可知: ,至此,我们可以得到

我们就得到这样的一个等式: ,得到了关于 的表达式,达到我们的预期,之后再利用弦长公式进行求解即可。

  求解球面距离可以分成这几类:(1)两点在经度一致;(2)两点纬度一致;(3)经度、纬度都不相同,其中以第三点最难处理,有兴趣的同学可以自行的去进行探究。

4.(1)证明 ( 为任意值)
   (2)已知 为任意正整数,用数学归纳法证明 ( 为任意值)
  【解题笔记】
(1) ,又 ,得证;
(2)数学归纳法在现在教材中作为一个选学内容,归纳法其实就像是一个多米诺骨牌一样,推动一个就推动下一个,直至整个得到证明,现将第二问证明给出如下: (1)当 时,结论显然成立
(2)假设当 n=k 时结论成立,即
时,




故当 为任意正整数时,结论均成立

5.已知一点P的坐标是 ,直线 的方程是 ,曲线 的方程是 ,求经过 点而与 垂直的直线和曲线 的交点的坐标,并画出此题的略图
  【解题笔记】直线与圆锥曲线交点坐标问题,根据两直线垂直,斜率乘积为-1,可求出过点P的垂线的斜率,再根据点斜式,可求出垂线的方程,再联立垂线方程与椭圆方程,解这个方程组即可。

6.当 是什么实数时,方程 与方程 有一公共根?
  【解题笔记】假设两方程的公共根为 ,则可以得到关于 的二元二次方程组,再将 看作已知,用 表示 ,再代入任意一个关于 的一元二次方程,得到关于 的方程,解关于 的方程即可。

7.已知抛物线
   (1)在抛物线上任取二点 ,经过线段 的中点作直线平行于抛物线的轴,和抛物线交于点 ,证明 的面积为
   (2)经过线段 的中点分别作直线平行于抛物线的轴,与抛物线依次交于 ,试将 的面积和用 , 表示出来
   (3)仿照(2)又可做出四个更小的三角形,如此继续下去可以做一系列的三角形,由此设法求出线段 与抛物线所围成的图形的面积
  【解题笔记】
(1)根据题意画出图形如下:

几何画板作图
几何画板作图

计算这个问题,有两种方法:
法一:利用三点坐标求三角形面积的方法,先来了解下这种计算方式,已知点 , , ,首先从 三点各做 轴的垂线 , , ,画图如下:

几何画板作图
几何画板作图

由图可以知道



根据行列式相关知识,上述结果可以简洁的表示如下:

这里需要注意的是,三角形的面积是一个正数,所以要对求得值取绝对值。
了解完这些后,由题意可知: 中: 点的纵坐标为 ,那么 点的横坐标为 ,所以 面积为: 后续就是计算了,在计算过程中,注意替换 , ,问题得到证明;
法二:取 的中点 ,连接 中: ,作图如下:

几何画板作图
几何画板作图

那么 ,其中 为点 与点 横坐标差的绝对值,即 ,后续就是仿照这样的处理方式,问题就能得到证明;
(2)根据题意画图如下:

几何画板作图
几何画板作图

, ,那么 的中点 ,则点 ,同理点 再利用第一问的办法即可解决。
(3)这一问需要用到前面两问的结论,有这样的发现:三角形的个数分别为:1,2,4,8,···其所对应的面积和分别为: ,···,所以线段 与抛物线所围成的图形的面积为首项 ,公比为 的等比数列的前 项和,最后对求和的式子进行取极限即可。

8.(附加题)(1)已知