LBM MRT collision model详细的推导过程

LBM（Lattice Boltzmann Method）是一种计算流体力学的数值模拟方法，它采用基于格子的方法来模拟流体的宏观行为。其中，MRT（Multiple Relaxation Time）是一种广泛使用的碰撞模型，它相对于其他碰撞模型具有更好的稳定性和精度。 MRT（Multiple Relaxation Time）碰撞模型是LBM中一种高效稳定的碰撞模型，其推导过程如下：

首先，我们将LBM的离散速度模型表示为：

其中， 是分布函数， 是速度分量， 是松弛时间， 是时间步长。

接下来，我们将分布函数表示为在速度空间上的矩的形式：

其中， 是密度， 和 是权重系数， 是速度空间的维数。

将上式代入碰撞模型，可以得到：

其中， 是平衡分布函数， 是碰撞矩阵， 是速度向量。

接下来，我们将碰撞矩阵 对角化，得到：

其中， 是对角矩阵，对角线上的元素为松弛时间， 是正交矩阵。

代入原式，得到：

整理得到：

其中， 。

最后，我们通过将 和 同时作用于同一离散速度格点上的方式，使用BGK（Bhatnagar-Gross-Krook）松弛时间来得到每个速度分量的松弛时间：

其中， 是粘性系数， 是与速度分量有关的参数， 是声速， 是流体速度。

因此，MRT碰撞模型能够独立地控制每个速度分量的松弛时间，从而提高了稳定性和精度。

总结一下MRT碰撞模型的推导过程：

1.将分布函数表示为在速度空间上的矩的形式；

2.将碰撞矩阵对角化；

3.通过对角化后的矩阵来表达碰撞模型；

4.通过使用BGK松弛时间，独立地控制每个速度分量的松弛时间。