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title: 二项分布期望和方差推导 tags: 二项分布 grammar_cjkRuby: true

“

若随机变量 服从二项分布,即 ， 则有 ，其均值和方差分别是

”

之前学二项分布的时候看到它的期望和方差觉得形式很简单，就没怎么细看推导过程。但是自己去推导的时候发现也没那么简单。。。本文做个总结

二项分布期望

整个推导过程如下

• 第1到第3行应该很好理解，不过需要注意的是第3行的下标从 开始了，因为 时值为0所以省略了。
• 第4行：把排列组合展开了
• 第5行：令
• 第6行：这是整个推导过程magic所在。为更加方便理解，对于式(6)右边那一坨 ，我们可以做一下换元，即令 ，注意原式的k取值范围是 ,那么z的取值范围应该就是 ，所以换元后式(6)变形得到 ,这就是二项分布概率累加，其结果为1。

二项分布方差

注意 可视为一个常数，所以 ，同理 ，综上

下面我们只需要在计算 即可，推导过程如下：

所以

参考

• https://blog.csdn.net/sinat_37321923/article/details/77481071
• https://open.163.com/newview/movie/free?pid=M82IC6GQU&mid=M83JAVGNU