淦数学

V1

2022/05/09阅读:25主题:草原绿

1964年高考数学真题

试卷综述

  本套试卷有8题,其中第9、10题属于机动题,这样子的设置也是选拔人才的做法,最后一题可以作为一个变式进行讲解,从平面到立体,结合了函数的最值问题。整套试卷难度较大,第7题要用到反证法,很有意思的一个问题。
  具体如下图:

表格来自自己整理
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亮点试题

  第四题,将余弦定理公式和正弦定理结合起来;
  第六题,圆台的计算,涉及到补形的思想;
  第七题,立体几何射影,涉及反证法;
  第八、九、十题,几何与函数的结合,都可以转化为二次函数最值问题。

有训练价值的问题及适用范围

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整卷预览

1.化简:

2.甲乙两人在 点的河对岸的 点,甲向东走,乙向西走,甲每分钟比乙多走 米,10分钟后,甲看 在北偏西 度,乙看 在北偏东 度,求

3.解方程 ,并证明它的四个根为一个正方形的四个顶点

4.求证:在 中,

5.已知 的三根的平方和为6,且有两个相等的正根,求

6.圆台形铁桶的上底半径是 ,下底半径是 ,母线是 将铁桶的侧面沿一条母线剪开,铺平如图中的扇形铁片 ,求 间的距离

7.已知空间四点 和两平面 ,又知 内的射影 是一条直线,在 内的射影 是一个平行四边形,求证: 是一个平行四边形

8.如图,已知正方形的边长为1,在正方形 中有两个相切的内切圆
   (1)求这两个内切圆的半径之和
   (2)当这两个圆的半径为何值时,两圆面积之和有最小值?当这两个圆的半径为何值时,两圆面积之和有最大值?

9.如图,已知矩形的边长为1,在矩形ABCD中有两个相切的内切圆
   (1)求这两个内切圆的半径之和
   (2)当这两个圆的半径为何值时,两圆面积之和有最小值?当这两个圆的半径为何值时,两圆面积之和有最大值?

10.如图,已知正方体的边长为1,在正方体中有两个相切的内切球
   (1)求这两个内切球的半径之和;
   (2)当这两个球的半径为何值时,两球面积之和有最小值?当这两个球的半径为何值时,两球面积之和有最大值?

正文

1.化简:
  【解题笔记】指数幂的计算,简单问题

  • 类似问题
    • 1953·全国·11 化简
    • 1954·全国·1 化简
    • 1957·全国·1 化简

2.甲乙两人在 点的河对岸的 点,甲向东走,乙向西走,甲每分钟比乙多走 米,10分钟后,甲看 在北偏西 度,乙看 在北偏东 度,求
  【解题笔记】根据题意画出图形如下:

几何画板作图
几何画板作图

  设乙的速度为 ,则甲的速度为 ,那么 , ,在用 表示 ,进而可以得到 的表达式,再将 回代至 中即可。

  • 类似问题
    • 1951·全国·22 设△ABC的三边 , , ,求 ,并证 的等差中项
    • 1959·全国·10 已知 为直线 上三点,且 ; 外一点,且 ,求
        (1) 的正弦、余弦、正切;
        (2) 的长;
        (3) 点到 的距离.
    • 1960·全国·8 从一船上看到在它的南 东的海面上有一灯塔,船以 里/小时的速度向东南方向航行,半小时后,看到这个灯塔在船的正西,问这时船与灯塔的距离(精确到 里)
    • 1961·全国·9 在平地上有 两点, 在山的正东, 在山的东南,且在 南300米的地方,在 测得山顶的仰角是 sin70^0≈0.94$)

3.解方程 ,并证明它的四个根为一个正方形的四个顶点
  【解题笔记】解复数方程, ,得到 ,再分别取 得到根即可。再在复平面将这四个根画出来,计算边长和角度即可。

4.求证:在 中,
  【解题笔记】利用正弦定理把余弦定理中的边化为角

5.已知 的三根的平方和为6,且有两个相等的正根,求
  【解题笔记】利用三次方程根与系数的关系,若关于 的三次方程 有三个根 那么根与系数的关系为:




我们可以设方程 的三个根分别为 ,根据题意与三次方程根与系数的关系就可以列出方程组,解方程组即可

  • 类似问题
    • 1950·全国·1 的一根为2,其他两根应为()
        A.两个0
        B.一个0,一个实根
        C.两个实根
        D.一个实根,一个虚根
        E.两个虚根
    • 1951·全国·13 系数是实数的一元三次方程,最少有几个根是实数,最多有几个根是实数?
    • 1952·全国·3 若方程 的三根为1,-1, ,则 =?

6.圆台形铁桶的上底半径是 ,下底半径是 ,母线是 将铁桶的侧面沿一条母线剪开,铺平如图中的扇形铁片 ,求 间的距离
  【解题笔记】根据题意画图如下:

圆台补充为圆锥
几何画板作图
几何画板作图
圆台展开后图形
几何画板作图
几何画板作图

  要求 的距离,需要知道 中的 的长度以及角 的大小。由图可以知道 等于圆台上下底面圆的半径之比,再根据弧长公式 ,可以得到 的大小。

  • 类似问题
    • 1959·全国·6 圆台上底面积为 ,下底直径为 ,母线为 ,求圆台的侧面积
    • 1961·全国·8 有一块环形铁皮,它的内半径是45厘米,外半径是75厘米,用它的五分之一(如图中阴影部分)作圆台形水桶的侧面求这水桶的容积是多少立方厘米?

7.已知空间四点 和两平面 ,又知 内的射影 是一条直线,在 内的射影 是一个平行四边形,求证: 是一个平行四边形

几何画板作图
几何画板作图

  【解题笔记】分两步走,第一步证明 四点共面。设通过直线 而垂直于平面 的平面为 则因 ,而 又在直线 上,所以点 在平面 内,其余同理可证;
  第二步:说明 是一个平行四边形,这里我们需要用反证法,假设 不是一个平行四边形,那么 不是一个平行四边形,这就会产生一个矛盾,问题就解决了。

8.如图,已知正方形的边长为1,在正方形 中有两个相切的内切圆
   (1)求这两个内切圆的半径之和
   (2)当这两个圆的半径为何值时,两圆面积之和有最小值?当这两个圆的半径为何值时,两圆面积之和有最大值?

几何画板作图
几何画板作图

  【解题笔记】 的半径分别为 由图可知: , ,据此就可以求解第一问。
  第二问,直接在第一问的前提下,列出面积与半径之间的关系式,可以是面积 的,也可以是面积 的之后就进行二次函数的最值处理。

9.如图,已知矩形的边长为1,在矩形ABCD中有两个相切的内切圆
   (1)求这两个内切圆的半径之和
   (2)当这两个圆的半径为何值时,两圆面积之和有最小值?当这两个圆的半径为何值时,两圆面积之和有最大值?

几何画板作图
几何画板作图

  【解题笔记】作辅助线如下图:

几何画板作图
几何画板作图

, 的半径分别为 , ,再根据勾股定理就可以得到一个关于 的二次方程,解方程即可;
  第二问,仿照第八题进行。

10.如图,已知正方体的边长为1,在正方体中有两个相切的内切球
   (1)求这两个内切球的半径之和;
   (2)当这两个球的半径为何值时,两球面积之和有最小值?当这两个球的半径为何值时,两球面积之和有最大值?

几何画板作图
几何画板作图

  【解题笔记】设正方体棱长为1,球 的半径为 ,因球 和球 外切,球 和以 为顶点的三个面相切,可得 ,同理可知 ,又 ,可得出
  第二问,利用立方和公式,将三次转化为二次进行求最值。

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