
淦数学
2022/05/09阅读:52主题:草原绿
1964年高考数学真题
试卷综述
本套试卷有8题,其中第9、10题属于机动题,这样子的设置也是选拔人才的做法,最后一题可以作为一个变式进行讲解,从平面到立体,结合了函数的最值问题。整套试卷难度较大,第7题要用到反证法,很有意思的一个问题。
具体如下图:

「亮点试题」
第四题,将余弦定理公式和正弦定理结合起来;
第六题,圆台的计算,涉及到补形的思想;
第七题,立体几何射影,涉及反证法;
第八、九、十题,几何与函数的结合,都可以转化为二次函数最值问题。
有训练价值的问题及适用范围

「整卷预览」
1.化简:
2.甲乙两人在 点的河对岸的 点,甲向东走,乙向西走,甲每分钟比乙多走 米,10分钟后,甲看 在北偏西 度,乙看 在北偏东 度,求
3.解方程 ,并证明它的四个根为一个正方形的四个顶点
4.求证:在 中,
5.已知 的三根的平方和为6,且有两个相等的正根,求 、
6.圆台形铁桶的上底半径是 ,下底半径是 ,母线是 将铁桶的侧面沿一条母线剪开,铺平如图中的扇形铁片 ,求 间的距离
7.已知空间四点 、 、 、 和两平面 、 ,又知 、 、 、 在 内的射影 是一条直线,在 内的射影 是一个平行四边形,求证: 是一个平行四边形
8.如图,已知正方形的边长为1,在正方形
中有两个相切的内切圆
(1)求这两个内切圆的半径之和
(2)当这两个圆的半径为何值时,两圆面积之和有最小值?当这两个圆的半径为何值时,两圆面积之和有最大值?
9.如图,已知矩形的边长为1,在矩形ABCD中有两个相切的内切圆
(1)求这两个内切圆的半径之和
(2)当这两个圆的半径为何值时,两圆面积之和有最小值?当这两个圆的半径为何值时,两圆面积之和有最大值?
10.如图,已知正方体的边长为1,在正方体中有两个相切的内切球
(1)求这两个内切球的半径之和;
(2)当这两个球的半径为何值时,两球面积之和有最小值?当这两个球的半径为何值时,两球面积之和有最大值?
正文
1.化简:
【解题笔记】指数幂的计算,简单问题
-
类似问题 -
1953·全国·11 化简 -
1954·全国·1 化简 -
1957·全国·1 化简
-
2.甲乙两人在
点的河对岸的
点,甲向东走,乙向西走,甲每分钟比乙多走
米,10分钟后,甲看
在北偏西
度,乙看
在北偏东
度,求
【解题笔记】根据题意画出图形如下:

设乙的速度为 ,则甲的速度为 ,那么 , ,在用 表示 ,进而可以得到 的表达式,再将 回代至 中即可。
-
类似问题 -
1951·全国·22 设△ABC的三边 , , ,求 ,并证 为 及 的等差中项 -
1959·全国·10 已知 、 、 为直线 上三点,且 ; 为 外一点,且 , ,求
(1) 的正弦、余弦、正切;
(2) 的长;
(3) 点到 的距离. -
1960·全国·8 从一船上看到在它的南 东的海面上有一灯塔,船以 里/小时的速度向东南方向航行,半小时后,看到这个灯塔在船的正西,问这时船与灯塔的距离(精确到 里) -
1961·全国·9 在平地上有 、 两点, 在山的正东, 在山的东南,且在 的 南300米的地方,在 测得山顶的仰角是 sin70^0≈0.94$)
-
3.解方程
,并证明它的四个根为一个正方形的四个顶点
【解题笔记】解复数方程,
,得到
,再分别取
得到根即可。再在复平面将这四个根画出来,计算边长和角度即可。
4.求证:在
中,
【解题笔记】利用正弦定理把余弦定理中的边化为角
5.已知
的三根的平方和为6,且有两个相等的正根,求
、
【解题笔记】利用三次方程根与系数的关系,若关于
的三次方程
有三个根
那么根与系数的关系为:
我们可以设方程 的三个根分别为 ,根据题意与三次方程根与系数的关系就可以列出方程组,解方程组即可
-
类似问题 -
1950·全国·1 的一根为2,其他两根应为()
A.两个0
B.一个0,一个实根
C.两个实根
D.一个实根,一个虚根
E.两个虚根 -
1951·全国·13 系数是实数的一元三次方程,最少有几个根是实数,最多有几个根是实数? -
1952·全国·3 若方程 的三根为1,-1, ,则 =?
-
6.圆台形铁桶的上底半径是
,下底半径是
,母线是
将铁桶的侧面沿一条母线剪开,铺平如图中的扇形铁片
,求
间的距离
【解题笔记】根据题意画图如下:


要求 的距离,需要知道 中的 的长度以及角 的大小。由图可以知道 等于圆台上下底面圆的半径之比,再根据弧长公式 ,可以得到 的大小。
-
类似问题 -
1959·全国·6 圆台上底面积为 ,下底直径为 ,母线为 ,求圆台的侧面积 -
1961·全国·8 有一块环形铁皮,它的内半径是45厘米,外半径是75厘米,用它的五分之一(如图中阴影部分)作圆台形水桶的侧面求这水桶的容积是多少立方厘米?
-
7.已知空间四点
、
、
、
和两平面
、
,又知
、
、
、
在
内的射影
是一条直线,在
内的射影
是一个平行四边形,求证:
是一个平行四边形

【解题笔记】分两步走,第一步证明
四点共面。设通过直线
而垂直于平面
的平面为
则因
,而
又在直线
上,所以点
在平面
内,其余同理可证;
第二步:说明
是一个平行四边形,这里我们需要用反证法,假设
不是一个平行四边形,那么
不是一个平行四边形,这就会产生一个矛盾,问题就解决了。
8.如图,已知正方形的边长为1,在正方形
中有两个相切的内切圆
(1)求这两个内切圆的半径之和
(2)当这两个圆的半径为何值时,两圆面积之和有最小值?当这两个圆的半径为何值时,两圆面积之和有最大值?

【解题笔记】设
的半径分别为
由图可知:
而
,
,据此就可以求解第一问。
第二问,直接在第一问的前提下,列出面积与半径之间的关系式,可以是面积
与
的,也可以是面积
与
的之后就进行二次函数的最值处理。
9.如图,已知矩形的边长为1,在矩形ABCD中有两个相切的内切圆
(1)求这两个内切圆的半径之和
(2)当这两个圆的半径为何值时,两圆面积之和有最小值?当这两个圆的半径为何值时,两圆面积之和有最大值?

【解题笔记】作辅助线如下图:

设
,
,
的半径分别为
则
,
,再根据勾股定理就可以得到一个关于
的二次方程,解方程即可;
第二问,仿照第八题进行。
10.如图,已知正方体的边长为1,在正方体中有两个相切的内切球
(1)求这两个内切球的半径之和;
(2)当这两个球的半径为何值时,两球面积之和有最小值?当这两个球的半径为何值时,两球面积之和有最大值?

【解题笔记】设正方体棱长为1,球
,
的半径为
,因球
和球
外切,球
和以
为顶点的三个面相切,可得
,同理可知
,又
,可得出
第二问,利用立方和公式,将三次转化为二次进行求最值。
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