1964年高考数学真题

试卷综述

  本套试卷有8题，其中第9、10题属于机动题，这样子的设置也是选拔人才的做法，最后一题可以作为一个变式进行讲解，从平面到立体，结合了函数的最值问题。整套试卷难度较大，第7题要用到反证法，很有意思的一个问题。
  具体如下图:

「亮点试题」

  第四题，将余弦定理公式和正弦定理结合起来；
  第六题，圆台的计算，涉及到补形的思想；
  第七题，立体几何射影，涉及反证法；
  第八、九、十题，几何与函数的结合，都可以转化为二次函数最值问题。

有训练价值的问题及适用范围

「整卷预览」

1.化简：

2.甲乙两人在 点的河对岸的 点，甲向东走，乙向西走，甲每分钟比乙多走 米，10分钟后，甲看 在北偏西 度，乙看 在北偏东 度，求

3.解方程 ,并证明它的四个根为一个正方形的四个顶点

4.求证：在 中，

5.已知 的三根的平方和为6，且有两个相等的正根，求 、

6.圆台形铁桶的上底半径是 ，下底半径是 ，母线是 将铁桶的侧面沿一条母线剪开，铺平如图中的扇形铁片 ，求 间的距离

7.已知空间四点 、 、 、 和两平面 、 ，又知 、 、 、 在 内的射影 是一条直线，在 内的射影 是一个平行四边形，求证: 是一个平行四边形

8.如图，已知正方形的边长为1，在正方形 中有两个相切的内切圆
   (1)求这两个内切圆的半径之和
   (2)当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最小值？当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最大值？

9.如图，已知矩形的边长为1，在矩形ABCD中有两个相切的内切圆
   (1)求这两个内切圆的半径之和
   (2)当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最小值？当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最大值？

10.如图，已知正方体的边长为1，在正方体中有两个相切的内切球
   (1)求这两个内切球的半径之和;
   (2)当这两个球的半径为何值时，两球面积之和有最小值？当这两个球的半径为何值时，两球面积之和有最大值？

正文

1.化简：
  【解题笔记】指数幂的计算，简单问题

• 类似问题

  • 1953·全国·11 化简
  • 1954·全国·1 化简
  • 1957·全国·1 化简

2.甲乙两人在 点的河对岸的 点，甲向东走，乙向西走，甲每分钟比乙多走 米，10分钟后，甲看 在北偏西 度，乙看 在北偏东 度，求
  【解题笔记】根据题意画出图形如下：

  设乙的速度为 ，则甲的速度为 ，那么 , ，在用 表示 ，进而可以得到 的表达式，再将 回代至 中即可。

• 类似问题

  • 1951·全国·22 设△ABC的三边 , , ,求 ，并证 为 及 的等差中项
  • 1959·全国·10 已知 、 、 为直线 上三点，且 ; 为 外一点，且 ， ，求
      (1) 的正弦、余弦、正切;
      (2) 的长;
      (3) 点到 的距离.
  • 1960·全国·8 从一船上看到在它的南 东的海面上有一灯塔，船以 里/小时的速度向东南方向航行，半小时后，看到这个灯塔在船的正西，问这时船与灯塔的距离（精确到 里）
  • 1961·全国·9 在平地上有 、 两点， 在山的正东， 在山的东南，且在 的 南300米的地方，在 测得山顶的仰角是 sin70^0≈0.94$)

3.解方程 ,并证明它的四个根为一个正方形的四个顶点
  【解题笔记】解复数方程， ，得到 ，再分别取 得到根即可。再在复平面将这四个根画出来，计算边长和角度即可。

4.求证：在 中，
  【解题笔记】利用正弦定理把余弦定理中的边化为角

5.已知 的三根的平方和为6，且有两个相等的正根，求 、
  【解题笔记】利用三次方程根与系数的关系，若关于 的三次方程 有三个根 那么根与系数的关系为：

我们可以设方程 的三个根分别为 ，根据题意与三次方程根与系数的关系就可以列出方程组，解方程组即可

• 类似问题

  • 1950·全国·1 的一根为2，其他两根应为（）
      A.两个0
      B.一个0，一个实根
      C.两个实根
      D.一个实根，一个虚根
      E.两个虚根
  • 1951·全国·13 系数是实数的一元三次方程，最少有几个根是实数，最多有几个根是实数？
  • 1952·全国·3 若方程 的三根为1,-1, ,则 =？

6.圆台形铁桶的上底半径是 ，下底半径是 ，母线是 将铁桶的侧面沿一条母线剪开，铺平如图中的扇形铁片 ，求 间的距离
  【解题笔记】根据题意画图如下：

圆台补充为圆锥

圆台展开后图形

  要求 的距离，需要知道 中的 的长度以及角 的大小。由图可以知道 等于圆台上下底面圆的半径之比，再根据弧长公式 ，可以得到 的大小。

• 类似问题

  • 1959·全国·6 圆台上底面积为 ，下底直径为 ，母线为 ，求圆台的侧面积
  • 1961·全国·8 有一块环形铁皮，它的内半径是45厘米，外半径是75厘米，用它的五分之一(如图中阴影部分)作圆台形水桶的侧面求这水桶的容积是多少立方厘米？

7.已知空间四点 、 、 、 和两平面 、 ，又知 、 、 、 在 内的射影 是一条直线，在 内的射影 是一个平行四边形，求证: 是一个平行四边形

  【解题笔记】分两步走，第一步证明 四点共面。设通过直线 而垂直于平面 的平面为 则因 ，而 又在直线 上，所以点 在平面 内,其余同理可证；
  第二步：说明 是一个平行四边形，这里我们需要用反证法，假设 不是一个平行四边形，那么 不是一个平行四边形，这就会产生一个矛盾，问题就解决了。

8.如图，已知正方形的边长为1，在正方形 中有两个相切的内切圆
   (1)求这两个内切圆的半径之和
   (2)当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最小值？当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最大值？

  【解题笔记】设 的半径分别为 由图可知： 而 , ,据此就可以求解第一问。
  第二问，直接在第一问的前提下，列出面积与半径之间的关系式，可以是面积 与 的，也可以是面积 与 的之后就进行二次函数的最值处理。

9.如图，已知矩形的边长为1，在矩形ABCD中有两个相切的内切圆
   (1)求这两个内切圆的半径之和
   (2)当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最小值？当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最大值？

  【解题笔记】作辅助线如下图：

设 ， , 的半径分别为 则 , ,再根据勾股定理就可以得到一个关于 的二次方程，解方程即可；
  第二问，仿照第八题进行。

10.如图，已知正方体的边长为1，在正方体中有两个相切的内切球
   (1)求这两个内切球的半径之和;
   (2)当这两个球的半径为何值时，两球面积之和有最小值？当这两个球的半径为何值时，两球面积之和有最大值？

  【解题笔记】设正方体棱长为1，球 ， 的半径为 ，因球 和球 外切，球 和以 为顶点的三个面相切，可得 ，同理可知 ,又 ，可得出
  第二问，利用立方和公式，将三次转化为二次进行求最值。