试卷综述

本套试卷有8题，其中第9、10题属于机动题，这样子的设置也是选拔人才的做法，最后一题可以作为一个变式进行讲解，从平面到立体，结合了函数的最值问题。整套试卷难度较大，第7题要用到反证法，很有意思的一个问题。
具体如下图:

「亮点试题」

第四题，将余弦定理公式和正弦定理结合起来；
第六题，圆台的计算，涉及到补形的思想；
第七题，立体几何射影，涉及反证法；
第八、九、十题，几何与函数的结合，都可以转化为二次函数最值问题。

有训练价值的问题及适用范围

「整卷预览」

1.化简：

2.甲乙两人在点的河对岸的点，甲向东走，乙向西走，甲每分钟比乙多走米，10分钟后，甲看在北偏西度，乙看在北偏东度，求

3.解方程 ,并证明它的四个根为一个正方形的四个顶点

4.求证：在中，

5.已知的三根的平方和为6，且有两个相等的正根，求、

6.圆台形铁桶的上底半径是，下底半径是，母线是将铁桶的侧面沿一条母线剪开，铺平如图中的扇形铁片，求间的距离

7.已知空间四点、、、和两平面、，又知、、、在内的射影是一条直线，在内的射影是一个平行四边形，求证: 是一个平行四边形

8.如图，已知正方形的边长为1，在正方形中有两个相切的内切圆
(1)求这两个内切圆的半径之和
(2)当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最小值？当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最大值？

9.如图，已知矩形的边长为1，在矩形ABCD中有两个相切的内切圆
(1)求这两个内切圆的半径之和
(2)当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最小值？当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最大值？

10.如图，已知正方体的边长为1，在正方体中有两个相切的内切球
(1)求这两个内切球的半径之和;
(2)当这两个球的半径为何值时，两球面积之和有最小值？当这两个球的半径为何值时，两球面积之和有最大值？

1.化简：
【解题笔记】指数幂的计算，简单问题

2.甲乙两人在点的河对岸的点，甲向东走，乙向西走，甲每分钟比乙多走米，10分钟后，甲看在北偏西度，乙看在北偏东度，求
【解题笔记】根据题意画出图形如下：

设乙的速度为，则甲的速度为，那么 , ，在用表示，进而可以得到的表达式，再将回代至中即可。

3.解方程 ,并证明它的四个根为一个正方形的四个顶点
【解题笔记】解复数方程，，得到，再分别取得到根即可。再在复平面将这四个根画出来，计算边长和角度即可。

4.求证：在中，
【解题笔记】利用正弦定理把余弦定理中的边化为角

5.已知的三根的平方和为6，且有两个相等的正根，求、
【解题笔记】利用三次方程根与系数的关系，若关于的三次方程有三个根那么根与系数的关系为：

我们可以设方程的三个根分别为，根据题意与三次方程根与系数的关系就可以列出方程组，解方程组即可

6.圆台形铁桶的上底半径是，下底半径是，母线是将铁桶的侧面沿一条母线剪开，铺平如图中的扇形铁片，求间的距离
【解题笔记】根据题意画图如下：

圆台补充为圆锥

圆台展开后图形

要求的距离，需要知道中的的长度以及角的大小。由图可以知道等于圆台上下底面圆的半径之比，再根据弧长公式，可以得到的大小。

类似问题
- 1959·全国·6 圆台上底面积为，下底直径为，母线为，求圆台的侧面积
- 1961·全国·8 有一块环形铁皮，它的内半径是45厘米，外半径是75厘米，用它的五分之一(如图中阴影部分)作圆台形水桶的侧面求这水桶的容积是多少立方厘米？

7.已知空间四点、、、和两平面、，又知、、、在内的射影是一条直线，在内的射影是一个平行四边形，求证: 是一个平行四边形

【解题笔记】分两步走，第一步证明四点共面。设通过直线而垂直于平面的平面为则因，而又在直线上，所以点在平面内,其余同理可证；
第二步：说明是一个平行四边形，这里我们需要用反证法，假设不是一个平行四边形，那么不是一个平行四边形，这就会产生一个矛盾，问题就解决了。

8.如图，已知正方形的边长为1，在正方形中有两个相切的内切圆
(1)求这两个内切圆的半径之和
(2)当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最小值？当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最大值？

【解题笔记】设的半径分别为由图可知：而 , ,据此就可以求解第一问。
第二问，直接在第一问的前提下，列出面积与半径之间的关系式，可以是面积与的，也可以是面积与的之后就进行二次函数的最值处理。

9.如图，已知矩形的边长为1，在矩形ABCD中有两个相切的内切圆
(1)求这两个内切圆的半径之和
(2)当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最小值？当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最大值？

【解题笔记】作辅助线如下图：

设， , 的半径分别为则 , ,再根据勾股定理就可以得到一个关于的二次方程，解方程即可；
第二问，仿照第八题进行。

10.如图，已知正方体的边长为1，在正方体中有两个相切的内切球
(1)求这两个内切球的半径之和;
(2)当这两个球的半径为何值时，两球面积之和有最小值？当这两个球的半径为何值时，两球面积之和有最大值？

【解题笔记】设正方体棱长为1，球，的半径为，因球和球外切，球和以为顶点的三个面相切，可得，同理可知 ,又，可得出
第二问，利用立方和公式，将三次转化为二次进行求最值。