集合之间的关系与运算

1．子集：如果集合中的任意一个元素都是集合的元素，则是的子集，记作或；

规定：是任意集合的子集．

如果集合中存在着不是集合中的元素，那么集合不包含于，记作或．

2．真子集：如果集合，且存在，但，我们称集合是集合的真子集，记作（或），读作真包含于（真包含）．规定：是任意非空集合的真子集．

3．集合相等：如果，且，我们说集合与集合相等，记作 = ．

4．交集：；

5．并集：；

6．补集

①全集：如果所研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，常用表示．

②补集：在中的补集的数学表达式是．

7．．

<特别注意> ①表示元素和集合之间的关系：属于“ ”和不属于“ ”

②表示集合与集合之间的关系：

包含关系：如果对于任意，则集合是集合的子集，记为或；注意提示： ,

相等关系：对于两个集合与，如果，且，那么集合与相等，记作

注意提示：如果“ ”，那么有或，两种情况二者必居其一；而是不允许，所以即使，不一定成立；反之，可以说；也可说

不包含关系：如果集合中存在着不属于集合的元素，那么集合不包含于，或不包含．分别记作，或

⑵ 0，{0} ，，{ } 之间的区别与联系

① 0与{0} 是不同的， 0只是一个数字，而{0} 则表示集合，这个集合中含有一个元素0 ，它们的关系是

② 与{0} 是不同的，中没有任何元素， {0}则表示含有一个元素0 的集合，它们的关系是两个集合之间的关系

③ 与{ } 是不同的，中没有任何元素，{ } 则表示含有一个元素的集合，它们的关系是 { } 或 { }或 { }

④显然，， { }

⑶集合中的计数问题

当研究有限集合问题时，常有一些计数问题．在计数时常用下列结论：设集合中元素个数为，则

①子集的个数为，

②真子集的个数为，

③非空真子集的个数为

训练

1.用适当的符号填空

⑴ ______ ______

⑵ ______

⑶ ______

2.已知集合，其中，且，则等于______．

3.已知，求的取值范围

4.设集合，则下列图形能表示与关系的是（）.

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5.若集合，且．求实数的取值范围．

6.已知集合．（1）若中只有一个元素，求的值，并求出这个元素；（2）若中至多只有一个元素，求的取值范围．

7.设有限集合，则叫做集合的和，记作 . 若集合，集合的含有3个元素的全体子集分别为，则 =______

8.设为满足下列两个条件的实数所构成的集合：① ，②若则．求解下列问题：

⑴若数列{2·(-1)^n} 中的项都在中，求中所含元素个数最少的集合；

⑵ 中所含元素个数一定是个吗?若是，请给出证明；若不是，请说明理由．

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