单摆振幅的求法

1. 原题展示

如图甲所示，在天花板上的O点用一定长度的摆线悬挂一个摆球，在O点的正下方P点处有一个钉子，现将摆球向左拉开一个很小的角度， 时将摆球由静止释放，当摆球运动到最低点时，摆线碰到钉子，此时摆球继续向右摆动，设向右为正方向，摆球的振动图像如图乙所示，不计摆线和钉子相碰时的能量损失，取重力加速度，结果可用分式表示，求：

2. 两种解法

解法1： 由图乙可知左边摆长 时，周期 ,解出 .同理摆至右边摆长 时，周期 ,解出 .

根据几何知识，我们知道振子在P点左边的振幅

振子在P点左边的振幅

又因为左右摆动过程机械能守恒，则

即

在摆角很小的情况下（3）式得到

得

(1)(2)(5)得

解法2：

由振动方程

求一阶导数得速度表达式为：

由于从左边到最低和从右边到最低处，最大速度都相同，即 ,图乙振幅分别用 和 替代，就是 .由周期之比知

3. 巩固练习

如图，长为l的细绳下方悬挂一小球a。绳的另一端固 定在天花板上0点处，在0点正下方 的O'处有一固定细铁钉。将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度(约为2°)后由静止释放，并从释放时开始计时。当小球a摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡。设小球相对于其平衡位置的水平位移为x，向右 为正。下列图像中，能描述小球在开始一个周期内的x-t关系的是( )。

4. 巩固练习答案

答案：A