概率论期末设计与期末总结

上讲回顾

组	内容	关键问题
4	大数定律	概念、证明、应用及R
5	中心极限定理	概念、证明、应用及R

总体与样本

1、性格与命运
2、小组成绩、元认知与自评成绩
3、不同专业(学科）学生评教的规律
4、自选主题

各小组从上述三个总体中选择数据来源

1、确定自己期末展示的内容

2、说明自己的主题与工作路径

问题

关于期末展示
关于期末考试

期末总结

第1章概率论的基本概念

1.1随机试验

称满足以下三个条件的试验为随机试验:
(1）在相同条件下可以重复进行;
(2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果;
(3)进行试验之前，不能确定哪个结果出现

1.2样本点样本空间随机事件

随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。
样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。
随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。
样本空间的子集称为随机事件，简称事件。
在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。

1.3事件的关系及运算

(1）包含关系A∈B，即事件A发生，导致事件B发生;
(2）相等关系A=B，即A∈B且B∈A;
(3)和事件(也叫并事件) C=AuB，即事件A与事件B至少有一个发生;
(4）积事件（也叫交事件) C =AB=AnB，即事件A与事件B同时发生;
(5）差事件 C=A-B=A-AB，即事件A发生，同时，事件B不发生;
(6）互斥事件（也叫互不相容事件) A、B满足 ，即事件A与事件B不同时发生;
(7）对立事件（也叫逆事件)

1.4事件的运算律

(1）交换律AuB=BuA,AB=BA;
(2）结合律Au(BuC)=(AuB)uC， A(BC)=(AB)C ;
(3）分配律A(BuC)=(AB)u(AC), Au(BC)=(AuB)(AuC);
(4）幂等律AUA= A,AA= A;
(5）差化积A-B=A-AB= AB ;
(6）反演律（也叫德·摩根律） .

1.5概率的公理化定义

设E是随机试验，2为样本空间,对于Q中的每一个事件A，赋予一个实数P(A)，称之为A的概率，P(A）满足:
(1) 0≤P(A)≤1;
(2） ;
(3）若事件A，A,…，A,…两两互不相容，则有 P(A, u A, U…uA,u….)=P( A,)+P(A,)+…+P(A, )+…。

1.6 条件概率 全概率公式 Bayes公式

条件概率

乘法定理

全概率公式

Bayes公式

事件的独立性

定义：若 , 则A与B是相互独立的

性质：

必然事件 Ω， 不可能事件 与任何事件独立
若A与B独立，则A与 也独立

第二章 随机变量及其分布

随机变量定义

随机变量：

可以看到， 。

分布函数：

分布函数性质

,

几个公式:

对于连续型随机变量:

离散型随机变量

分布函数： 分布律：

X	x1	x2	x3	...
pi	p1	p2	p3	...

常用离散分布

1.退化分布P{X =c}=1 2.两点分布 3.均匀分布 4.二项分布 若X～B(n, p).则P{X=k}= 5.泊松分布 若

【泊松定理】︰

连续型随机变量

多维随机变量及其分布

边缘分布

随机变量独立性

条件分布

随机变量的函数及其分布

问题: 若 ，如何根据X的分布推导Y的分布？

单个随机变量

两个随机变量

第三章 随机变量数字特征

数学期望

数学期望性质

方差和矩

方差性质

常用的期望与方差

分布	期望E(X)	方差D(X)
二项分布（离散）	np	np(1-p)
泊松分布（离散）	λ	λ
几何分布（离散）	1/p
指数分布（连续）	1/λ
均匀分布（连续）	(a+b)/2
正态分布（连续）	μ

对于[正态分布]，有

其它分布

矩

原点矩：k阶原点矩 ,k=1时即为数学期望E(X)

中心距：k阶中心距 ,k=2时即为方差D(X)

协方差与相关系数

协方差

随机变量X与Y的协方差记为Cov(X,Y) ，即

协方差性质：

相关系数

其中 分别为 X，Y的标准差；当 时，则称 X，Y 不相关

性质：

1.对于任意随机变量X和Y，均有
2.
3.X和Y相互独立→X和Y不相关(反之不成立，除非X、Y均服从正态分布)

第四章 中心极限定理

大数定律

设{ }是一个随机变量序列，{ }是一个常数序列，若对任意实数 ,都有

则称{ }服从大数定律。 则称服从大数定律。

切比雪夫大数定律：

即

切比雪夫不等式：

伯努利大数定律：

设为 为n重伯努律试验中A出现的次数，p为每次试验中A出现的概率，则对任意实数，都有

可以理解为，当试验次数n足够大时，A事件发生的频率 近似等于A事件发生的概率

辛钦大数定律：

设随机变量序列独立同分布，且 ，则对任意实数 ，都有

中心极限定理

【林德贝格-列维中心极限定理】（独立同分布中心极限定理）：

​ 设随机变量序列{ }独立同分布，且存在数学期望 和方差 ,则对于任意x，有

其中 为标准正态分布函数。

注意观察，可以发现 就是 （可以与下一个定理进行比较，方便记住公式） 该定理表明，独立同分布序列，只要方差存在且不为0，当n足够大，就有

AN(0,1)表示近似(almost)标准正态分布, 从而

【棣莫弗-拉普拉斯定理】：

设随机变量 ~ B(n,p)（n=1,2,...） ，对任意x，有

（注意与上一个独立同分布中心极限定理的公式对比，方便记忆）

参考文献

期末总结

百度文库