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2022/12/06阅读:35主题:橙心

概率论期末

概率论期末设计与期末总结

上讲回顾

内容 关键问题
4 大数定律 概念、证明、应用及R
5 中心极限定理 概念、证明、应用及R

总体与样本

1、性格与命运
2、小组成绩、元认知与自评成绩
3、不同专业(学科)学生评教的规律
4、自选主题

各小组从上述三个总体中选择数据来源

1、确定自己期末展示的内容

2、说明自己的主题与工作路径

问题

关于期末展示
关于期末考试

期末总结

第1章概率论的基本概念

1.1随机试验

称满足以下三个条件的试验为随机试验:
(1)在相同条件下可以重复进行;
(2)每次试验的结果不止一个,并且能事先明确所有的可能结果;
(3)进行试验之前,不能确定哪个结果出现

1.2样本点样本空间随机事件

随机试验的每一个可能结果称为一个样本点,也称为基本事件。
样本点的全体所构成的集合称为样本空间,也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。
随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中,试验的目的不同时,样本空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。
样本空间的子集称为随机事件,简称事件。
在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。

1.3事件的关系及运算

(1)包含关系A∈B,即事件A发生,导致事件B发生;
(2)相等关系A=B,即A∈B且B∈A;
(3)和事件(也叫并事件) C=AuB,即事件A与事件B至少有一个发生;
(4)积事件(也叫交事件) C =AB=AnB,即事件A与事件B同时发生;
(5)差事件 C=A-B=A-AB,即事件A发生,同时,事件B不发生;
(6)互斥事件(也叫互不相容事件) A、B满足 ,即事件A与事件B不同时发生;
(7)对立事件(也叫逆事件)

1.4事件的运算律

(1)交换律AuB=BuA,AB=BA;
(2)结合律Au(BuC)=(AuB)uC, A(BC)=(AB)C ;
(3)分配律A(BuC)=(AB)u(AC), Au(BC)=(AuB)(AuC);
(4)幂等律AUA= A,AA= A;
(5)差化积A-B=A-AB= AB ;
(6)反演律(也叫德·摩根律) .

1.5概率的公理化定义

设E是随机试验,2为样本空间,对于Q中的每一个事件A,赋予一个实数P(A),称之为A的概率,P(A)满足:
(1) 0≤P(A)≤1;
(2) ;
(3)若事件A,A,…,A,…两两互不相容,则有 P(A, u A, U…uA,u….)=P( A,)+P(A,)+…+P(A, )+…。

1.6 条件概率 全概率公式 Bayes公式

条件概率

乘法定理

全概率公式

Bayes公式

事件的独立性

定义:若 , 则A与B是相互独立的

性质:

必然事件 Ω, 不可能事件 与任何事件独立
若A与B独立,则A与 也独立

第二章 随机变量及其分布

随机变量定义

随机变量:

可以看到,

分布函数:

分布函数性质

,

几个公式:

对于连续型随机变量:

离散型随机变量

分布函数: 分布律:

X x1 x2 x3 ...
pi p1 p2 p3 ...
常用离散分布

1.退化分布P{X =c}=1 2.两点分布 3.均匀分布 4.二项分布 若X~B(n, p).则P{X=k}= 5.泊松分布 若

【泊松定理】︰

连续型随机变量

多维随机变量及其分布

边缘分布

随机变量独立性

条件分布

随机变量的函数及其分布

问题: 若 ,如何根据X的分布推导Y的分布?

单个随机变量
两个随机变量

第三章 随机变量数字特征

数学期望

数学期望性质

方差和矩

方差性质

常用的期望与方差

分布 期望E(X) 方差D(X)
二项分布(离散) np np(1-p)
泊松分布(离散) λ λ
几何分布(离散) 1/p
指数分布(连续) 1/λ
均匀分布(连续) (a+b)/2
正态分布(连续) μ

对于[正态分布],有

其它分布

原点矩:k阶原点矩 ,k=1时即为数学期望E(X)

中心距:k阶中心距 ,k=2时即为方差D(X)

协方差与相关系数

协方差

随机变量X与Y的协方差记为Cov(X,Y) ,即

协方差性质:

相关系数

其中 分别为 X,Y的标准差;当 时,则称 X,Y 不相关

性质:

1.对于任意随机变量X和Y,均有
2.
3.X和Y相互独立→X和Y不相关(反之不成立,除非X、Y均服从正态分布)

第四章 中心极限定理

大数定律

设{ }是一个随机变量序列,{ }是一个常数序列,若对任意实数 ,都有

则称{ }服从大数定律。 则称服从大数定律。

切比雪夫大数定律:

切比雪夫不等式:

伯努利大数定律:

设为 为n重伯努律试验中A出现的次数,p为每次试验中A出现的概率,则对任意实数,都有

可以理解为,当试验次数n足够大时,A事件发生的频率 近似等于A事件发生的概率

辛钦大数定律:

设随机变量序列独立同分布,且 ,则对任意实数 ,都有

中心极限定理

【林德贝格-列维中心极限定理】(独立同分布中心极限定理):

​ 设随机变量序列{ }独立同分布,且存在数学期望 和方差 ,则对于任意x,有

其中 为标准正态分布函数。

注意观察,可以发现 就是 (可以与下一个定理进行比较,方便记住公式) 该定理表明,独立同分布序列,只要方差存在且不为0,当n足够大,就有

AN(0,1)表示近似(almost)标准正态分布, 从而

【棣莫弗-拉普拉斯定理】:

设随机变量 ~ B(n,p)(n=1,2,...) ,对任意x,有

(注意与上一个独立同分布中心极限定理的公式对比,方便记忆)

参考文献

期末总结

百度文库

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