thomas
2022/12/06阅读:35主题:橙心
概率论期末
概率论期末设计与期末总结
上讲回顾
组 | 内容 | 关键问题 |
---|---|---|
4 | 大数定律 | 概念、证明、应用及R |
5 | 中心极限定理 | 概念、证明、应用及R |





总体与样本
1、性格与命运
2、小组成绩、元认知与自评成绩
3、不同专业(学科)学生评教的规律
4、自选主题
各小组从上述三个总体中选择数据来源
1、确定自己期末展示的内容
2、说明自己的主题与工作路径
问题
关于期末展示
关于期末考试
期末总结
第1章概率论的基本概念
1.1随机试验
称满足以下三个条件的试验为随机试验:
(1)在相同条件下可以重复进行;
(2)每次试验的结果不止一个,并且能事先明确所有的可能结果;
(3)进行试验之前,不能确定哪个结果出现
1.2样本点样本空间随机事件
随机试验的每一个可能结果称为一个样本点,也称为基本事件。
样本点的全体所构成的集合称为样本空间,也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。
随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中,试验的目的不同时,样本空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。
样本空间的子集称为随机事件,简称事件。
在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。
1.3事件的关系及运算
(1)包含关系A∈B,即事件A发生,导致事件B发生;
(2)相等关系A=B,即A∈B且B∈A;
(3)和事件(也叫并事件) C=AuB,即事件A与事件B至少有一个发生;
(4)积事件(也叫交事件) C =AB=AnB,即事件A与事件B同时发生;
(5)差事件 C=A-B=A-AB,即事件A发生,同时,事件B不发生;
(6)互斥事件(也叫互不相容事件) A、B满足
,即事件A与事件B不同时发生;
(7)对立事件(也叫逆事件)
1.4事件的运算律
(1)交换律AuB=BuA,AB=BA;
(2)结合律Au(BuC)=(AuB)uC, A(BC)=(AB)C ;
(3)分配律A(BuC)=(AB)u(AC), Au(BC)=(AuB)(AuC);
(4)幂等律AUA= A,AA= A;
(5)差化积A-B=A-AB= AB ;
(6)反演律(也叫德·摩根律)
1.5概率的公理化定义
设E是随机试验,2为样本空间,对于Q中的每一个事件A,赋予一个实数P(A),称之为A的概率,P(A)满足:
(1) 0≤P(A)≤1;
(2)
(3)若事件A,A,…,A,…两两互不相容,则有 P(A, u A, U…uA,u….)=P( A,)+P(A,)+…+P(A, )+…。
1.6 条件概率 全概率公式 Bayes公式
条件概率
乘法定理
全概率公式

Bayes公式

事件的独立性
定义:若
性质:
必然事件 Ω, 不可能事件
若A与B独立,则A与
第二章 随机变量及其分布
随机变量定义
随机变量:
可以看到,
分布函数:
分布函数性质
几个公式:
对于连续型随机变量:
离散型随机变量
分布函数:
X | x1 | x2 | x3 | ... |
---|---|---|---|---|
pi | p1 | p2 | p3 | ... |
常用离散分布
1.退化分布P{X =c}=1 2.两点分布
【泊松定理】︰
连续型随机变量

多维随机变量及其分布




边缘分布


随机变量独立性

条件分布

随机变量的函数及其分布
问题: 若
单个随机变量

两个随机变量

第三章 随机变量数字特征
数学期望

数学期望性质

方差和矩

方差性质

常用的期望与方差
分布 | 期望E(X) | 方差D(X) |
---|---|---|
二项分布(离散) | np | np(1-p) |
泊松分布(离散) | λ | λ |
几何分布(离散) | 1/p |
|
指数分布(连续) | 1/λ |
|
均匀分布(连续) | (a+b)/2 |
|
正态分布(连续) | μ |
|
对于[正态分布],有
其它分布
矩
原点矩:k阶原点矩
中心距:k阶中心距
协方差与相关系数
协方差
随机变量X与Y的协方差记为Cov(X,Y) ,即
协方差性质:
相关系数
其中
性质:
1.对于任意随机变量X和Y,均有
2.
3.X和Y相互独立→X和Y不相关(反之不成立,除非X、Y均服从正态分布)
第四章 中心极限定理
大数定律
设{

则称{
切比雪夫大数定律:

即
切比雪夫不等式:

伯努利大数定律:
设为

可以理解为,当试验次数n足够大时,A事件发生的频率 近似等于A事件发生的概率
辛钦大数定律:
设随机变量序列独立同分布,且

中心极限定理
【林德贝格-列维中心极限定理】(独立同分布中心极限定理):
设随机变量序列{

其中
注意观察,可以发现

AN(0,1)表示近似(almost)标准正态分布, 从而

【棣莫弗-拉普拉斯定理】:
设随机变量

(注意与上一个独立同分布中心极限定理的公式对比,方便记忆)
参考文献
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