2022-2023-1高等数学A1试卷A 解析

2022-2023-1高等数学A1试卷A解析

一、填空题（能化简的须化简）（每小题4分，共36分）

1、函数 的定义域

解：求函数的自然定义域，只要各部分都有意义即可.

因此定义域是 .

2、极限

解：这是 型未定式，可以用洛必达法则，

或者分子用泰勒公式展开更便捷.

3、函数 的可去间断点为

解：显然分母的零点 就是该函数的间断点，其中 为可去间断点， 为无穷间断点.

4、曲线 上以 为切点的切线方程为

解：直接求导数 , , 故所求切线为

5、设 存在，则函数 的二阶导数

解：考查符合求导法则，直接计算即可.

6、函数 的凸区间为

解：考查凹凸性的判定，

所以凸区间为

7、不定积分

解：考查分部积分法.

8、微分方程 的通解为

解：这是一阶线性非齐次微分方程， 可以用通解公式，

9、微分方程 的通解为

解：这是齐次微分方程，令

两边各自积分得

二、计算题（每小题8分，共56分）

1、设函数

在 上连续，求 的值.

解：由题设条件可知

所以

2、求由参数方程

所确定的函数的导数 .

解：考查参数方程确定的函数的求导法则，

3、计算不定积分

解：由分部积分法，

4、设 连续，计算

解：考查积分上限函数的性质.

或者先用分部积分法处理下积分上限函数，

5、设曲线 和 直线所围成的平面图形为 .

(1)求 的面积；

(2)求 绕 轴旋转所成旋转体的体积.

解：求出两曲线的交点 和 .

(1)区域 的面积为

(2)区域 绕 轴旋转所成旋转体的体积为

或者选择 为积分变量，

6、求微分方程 满足初始条件 的特解.

解：这是二阶常系数线性齐次微分方程，特征方程为 特征根为 通解为 由初始条件可得 因此 所求特解为

7、某风景区欲制定门票价格. 据估计，若门票价格为每人8元，平均每天将有1200名游客；门票价格每降低1元，游客将增加240人. 试确定使收入最大的门票价格.

解：设门票价格为 元， 则收入为

令 得 而 所以此驻点为最大值点，即为所求价格.

三、证明题（8分） 设 ，证明

证明：

从而有

即