2023年研考数学二选择题解析

2023年研考数学二选择题解析

一、选择题：1-10题（每题10分，共50分）

1. 曲线 的斜渐近线方程为( )

A.

B.

C.

D.

解析： 斜渐近线需要确定斜率 与截距 ，

因此，正确选项为B.

2. 函数

   的一个原函数为( )

A.

B.

C.

D.

解析：开区间上的原函数可以考虑不定积分，而原函数在分段点的可导性以及连续性是考查重点，

注意到原函数在分段点的可导性以及连续性，应有 . 因此，正确选项为D.

3. 已知 , 满足: , , , , 则当 时, ( )

A. 是 的高阶无穷小

B. 是 的高阶无穷小

C. 与 是等价无穷小

D. 与 是同阶但不等价的无穷小

解析: 注意到当 时, , 所以

即

注意到 , 由单调有界必有极限可知 .

由数学归纳法可以求出

显然 .

另一方面,

因此有

即 是 的高阶无穷小, 正确选项为B.

4. 若微分方程 的解在 上有界, 则( )

A.

B.

C.

D.

解析: 这是二阶常系数线性齐次微分方程, 特征方程为 ,

当 时, 有两个不相等的特征根 , 则至少有一个特征根不为零. 若 不同时为零, 方程的解

在 上无界.

当 时, 有两个相等的特征根 . 若 不为零, 即有方程的解

在 上无界.

当 时, 有一对共轭的复特征根

, 方程的通解

要使方程的解在 上有界, 需要 . 再由 可知, .

因此正确选项为C.

5. 设函数 由

   确定, 则( )

A. 连续, 不存在.

B. 存在, 在 处不连续

C. 连续, 不存在.

D. 存在, 在 处不连续

解析: 对 的取值分情况讨论可得,

在开区间内由公式法直接求导数, 在分段点用定义求左右导数,

因此导函数

显然导函数 连续.

因此, 不存在.

所以, 正确选项为C.

6. 若函数 在 处取得最小值, 则 ( )

A.

B.

C.

D.

解析: 显然, 时, 此广义积分发散, 因此, ,

求驻点, 令

得 . 因此, 正确选项为A.

7. 设函数 , 若 没有极值点, 但曲线 有拐点, 则 的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.

解析: 由于 没有极值点, 所以 没有变号, 判别式 即 .

由于曲线 有拐点, 所以 有变号, 判别式 即 .

所以正确选项为C.

8. 设 为 阶可逆矩阵, 为 阶单位矩阵, 为矩阵 的伴随矩阵, 则

   ( )

A.

B.

C.

D.

解析: 结合伴随矩阵的性质, 直接计算可知

所以, 正确选项为D.

9. 二次型