qiang819520
2023/04/06阅读:45主题:默认主题
初中数学必杀技之四点共圆
理论基础:
(1)在同圆或者等圆中,等弧对等弦,等弧对等圆周(心)角;
(2)圆的内接四边形对角互补。
在图1中,∠C=∠D
在图2中,∠C+∠D=180°
图1的共圆称为定弦定角型,图2的共圆称为对角互补型。
应用:
例:如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在边BC、CD上,且∠EAF=45°,AE交BD于M点,AF交BD于N点.
(1)若正方形的边长为2,则
的周长是___.
(2)下列结论:
①
;
②若F是CD的中点,则tan∠AEF=3;
③连接MF,则
为等腰直角三角形.
其中正确结论的序号是___(把你认为所有正确的都填上).

对于第一问和第二问的①是有关旋转的应用,请参考初中数学几何难点之旋转,而第二问的②和③则是共圆的应用。
注意到几个45°,∠MAF=∠MDF=45°,这两个等角对着同一边MF,故A,M,F,D四点共圆。
所以,∠AMF=∠ADF=90°,∠MAF=∠MFA=45°,即
为等腰直角三角形.
故
.
注意到在四边形AMFD中,四边均可以计算,在 中知道两边一角,可解之,只需过点F向MD引垂线,初中生便可解决MD的长度的求取,请自行解决 ,从而 也可求得.
练习:(上海一模)如图,在矩形ABCD中,AD=3,
,E是边DC上一动点,F是线段DE延长线上一点,且
, AF与矩形对角线BD交于点G,连接EG,
(1)求证
;
(2)设
,
,求
关于
的函数关系。

第一问:证明A,D,E,G四点共圆即可 第二问:过点E作EH⊥DG于H点,
设 ,则
对于初中学生来说,可以降低难度,例如,给边长加单位:
设AD=3cm,点E以1cm/s的速度由D点沿DC边向C点移动,求2s后,点E和点F之间的距离。
作者介绍