初中数学必杀技之四点共圆

理论基础：

（1）在同圆或者等圆中，等弧对等弦，等弧对等圆周（心）角；

（2）圆的内接四边形对角互补。

在图1中，∠C=∠D

在图2中，∠C+∠D=180°

图1的共圆称为定弦定角型，图2的共圆称为对角互补型。

应用：

例：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，AE交BD于M点，AF交BD于N点．
（1）若正方形的边长为2，则 的周长是___．
（2）下列结论：
① ；
②若F是CD的中点，则tan∠AEF=3；
③连接MF，则 为等腰直角三角形．
其中正确结论的序号是___（把你认为所有正确的都填上）．

对于第一问和第二问的①是有关旋转的应用，请参考初中数学几何难点之旋转，而第二问的②和③则是共圆的应用。

注意到几个45°，∠MAF=∠MDF=45°，这两个等角对着同一边MF，故A，M，F，D四点共圆。
所以，∠AMF=∠ADF=90°，∠MAF=∠MFA=45°，即 为等腰直角三角形.
故 .

注意到在四边形AMFD中，四边均可以计算，在 中知道两边一角，可解之，只需过点F向MD引垂线，初中生便可解决MD的长度的求取，请自行解决 ，从而 也可求得.

练习：（上海一模）如图，在矩形ABCD中，AD=3， ，E是边DC上一动点，F是线段DE延长线上一点，且 ， AF与矩形对角线BD交于点G，连接EG，
(1)求证 ;
(2)设 ， ，求 关于 的函数关系。

第一问：证明A,D,E,G四点共圆即可 第二问：过点E作EH⊥DG于H点，

设 ，则

对于初中学生来说，可以降低难度，例如，给边长加单位：
设AD=3cm，点E以1cm/s的速度由D点沿DC边向C点移动，求2s后，点E和点F之间的距离。