小孙孙
2022/04/18阅读:17主题:自定义主题1
考研高数:不定积分(二)
知识提要
● 欧拉公式
推论(正余弦的复指数形式)
习题
1). 小题三道
solution:
如果此题仿照前两题,使用复指数形式展开,一道题做半个小时岂不美哉??🤣
总结:对于正余弦的次数较低的连乘积,使用复指数展开能简化计算,不需要背各种和差化积公式,但连乘积次数较高、项数较多,必须考虑是否能够凑微分或者是换元。
2). 两组习题
第一组
solution 1:
令
solution 2:
总结:解法1使用了万能代换,原因是经过估计,换元后 分子与分母 的最高次数接近,且都不大。通常只需要估计一下 的次数即可,可以看到分母是 ,因此带两个 , 又带一个,所以分子次数比分母高一点,并且换元后分母的次数也不会特别高,应该可以做出来,经过计算以后确实非常简单😕
解法2使用了化半角的方法,这么做的依据是:如果能让分母是一个简单的三角有理式,分子是一串三角有理式,那么可以拆成若干个部分分开计算,然后利用积分的线性性质加起来就可以了。为了使得分母足够简单,将其化成半角的形式即可。但是化半角以后式子变成 ,通常我们希望出现的是 和 、 和 这两对,因为这两对可以通过积分关系灵活转化,所以将分子的1转化一下即可。
第二组
solution:
Q:为什么知道会分部积分以后会这样子?🥺
A:你问我我也不知道啊...🤪
solution:
其中 可以用这两种方法解:
第一种:
第二种:
然后计算
因此
-
是的,题目比上一题多了个指数
solution 1:
是不是非常反人类??🤪
solution 2:
总结:第二组习题涉及到化半角技巧的进一步使用。第一道题由于分子有一个
总之,思路对处处是巧合,思路不对处处是障碍!
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