考研高数:不定积分(二)

知识提要

● 欧拉公式

推论（正余弦的复指数形式）

习题

1). 小题三道

solution:

如果此题仿照前两题，使用复指数形式展开，一道题做半个小时岂不美哉？？🤣

总结：对于正余弦的次数较低的连乘积，使用复指数展开能简化计算，不需要背各种和差化积公式，但连乘积次数较高、项数较多，必须考虑是否能够凑微分或者是换元。

---

2). 两组习题

第一组

solution 1:

令

solution 2:

总结：解法1使用了万能代换，原因是经过估计，换元后 分子与分母 的最高次数接近，且都不大。通常只需要估计一下 的次数即可，可以看到分母是 ，因此带两个 ， 又带一个，所以分子次数比分母高一点，并且换元后分母的次数也不会特别高，应该可以做出来，经过计算以后确实非常简单😕

解法2使用了化半角的方法，这么做的依据是：如果能让分母是一个简单的三角有理式，分子是一串三角有理式，那么可以拆成若干个部分分开计算，然后利用积分的线性性质加起来就可以了。为了使得分母足够简单，将其化成半角的形式即可。但是化半角以后式子变成 ，通常我们希望出现的是 和 、 和 这两对，因为这两对可以通过积分关系灵活转化，所以将分子的1转化一下即可。

第二组

solution:

Q：为什么知道会分部积分以后会这样子?🥺

A：你问我我也不知道啊...🤪

​ solution:

其中 可以用这两种方法解：

第一种:

第二种:

然后计算

因此

3. 是的，题目比上一题多了个指数

​ solution 1:

是不是非常反人类？？🤪

solution 2:

总结：第二组习题涉及到化半角技巧的进一步使用。第一道题由于分子有一个 ，那么自然想到可以凑微分然后分部积分，把这道题放进来是为了熟悉一下分部积分的套路。第二道题直接看好像没有头绪，但是把它拆开分成两个部分计算就很方便了，其中第二个部分好像可以使用凑微分，然后分部积分，实际尝试阻碍重重，最后发现化半角才是正道。第三道题一看到 指数和三角的组合，自然想到凑微分，然后分部积分，于是事情就变得很复杂了.........其实如果参考第二题的解法会快很多。

总之，思路对处处是巧合，思路不对处处是障碍！