小孙孙

V1

2022/04/18阅读:17主题:自定义主题1

考研高数:不定积分(二)

知识提要

欧拉公式

推论(正余弦的复指数形式)

习题

1). 小题三道

solution:

如果此题仿照前两题,使用复指数形式展开,一道题做半个小时岂不美哉??🤣

总结:对于正余弦的次数较低的连乘积,使用复指数展开能简化计算,不需要背各种和差化积公式,但连乘积次数较高、项数较多,必须考虑是否能够凑微分或者是换元。


2). 两组习题

第一组

solution 1:

solution 2:

总结:解法1使用了万能代换,原因是经过估计,换元后 分子与分母 的最高次数接近,且都不大。通常只需要估计一下 的次数即可,可以看到分母是 ,因此带两个 又带一个,所以分子次数比分母高一点,并且换元后分母的次数也不会特别高,应该可以做出来,经过计算以后确实非常简单😕

解法2使用了化半角的方法,这么做的依据是:如果能让分母是一个简单的三角有理式,分子是一串三角有理式,那么可以拆成若干个部分分开计算,然后利用积分的线性性质加起来就可以了。为了使得分母足够简单,将其化成半角的形式即可。但是化半角以后式子变成 ,通常我们希望出现的是 这两对,因为这两对可以通过积分关系灵活转化,所以将分子的1转化一下即可。

第二组

solution:

Q:为什么知道会分部积分以后会这样子?🥺

A:你问我我也不知道啊...🤪

solution:

其中 可以用这两种方法解:

第一种:

第二种:

然后计算

因此

  1. 是的,题目比上一题多了个指数

solution 1:

是不是非常反人类??🤪

solution 2:

总结:第二组习题涉及到化半角技巧的进一步使用。第一道题由于分子有一个 ,那么自然想到可以凑微分然后分部积分,把这道题放进来是为了熟悉一下分部积分的套路。第二道题直接看好像没有头绪,但是把它拆开分成两个部分计算就很方便了,其中第二个部分好像可以使用凑微分,然后分部积分,实际尝试阻碍重重,最后发现化半角才是正道。第三道题一看到 指数和三角的组合,自然想到凑微分,然后分部积分,于是事情就变得很复杂了.........其实如果参考第二题的解法会快很多。

总之,思路对处处是巧合,思路不对处处是障碍!

分类:

数学

标签:

高等数学

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小孙孙
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