刘玉记

V1

2022/05/21阅读:44主题:红绯

拉格朗日定理逆命题

拉格朗日定理的逆命题成立吗?拉格朗日定理逆命题在什么条件下成立?

拉格朗日定理

定理: 在区间 连续,在区间 可导,则存在 使得

拉格朗日定理逆命题逼一定成立

逆命题: 在区间 连续,在区间 可导,则对于 ,存在 使得

逆命题不成立的反例: 取函数

则条件“ 在区间 连续,在区间 可导”满足。对于 ,反设存在 满足

推出

推出 , ,因此 ,矛盾。故对于 ,不存在 满足

则对于该函数,拉格朗日定理逆命题不成立。

拉格朗日定理逆命题成立的条件

定理1: 在区间 连续,在区间 二阶可导,且 ,则存在 使得

证明:

  • 情况1:当 时,则 上驻点,根据 ,则 必为极值点。不妨设 为极小值点。根据极小值点的定义,存在 使得

根据连续函数介值定理,对于 ,则存在 使得

存在 满足

因此

结论成立。

  • 情况2:当 时,作辅助函数

容易得到 连续,在 可导,且

根据情况1,存在 使得

化为

则得到

结论成立。综上所述,结论均成立。【逆命题证明完毕】

两道考研试题

题目1(北京大学):设 四阶可导,且

证明存在 使得

证明:

  • 如果 ,则根据上面定理1,得到存在 使得

结论成立。

  • 如果 ,不妨设 . 根据

得到

因此 右边单调增加,在 左边单调减少。根据 得到

所以 的左右边均单调增加。则

的极小值点。根据定理1的证明过程的情况1得到存在 使得

结论成立。

  • 如果 ,作辅助函数

根据前面证明存在 使得

化为

结论成立。【证明完毕】

题目2:设 连续,在 可导, 不是 的最值,证明存在 使得

证明:

  • 如果 , 反设结论不成立,即对于任意 满足

为区间 上单射。

下面证明 必为单调函数,否则存在 使得

或者

对于 , 根据连续函数介值定理,存在 使得 矛盾。

根据单调可导得到

或者

因此 的最值点。矛盾。所以反设错误。则结论成立。

  • 如果 ,作辅助函数

连续,在 可导,且

不是 的最值,否则如果 是最小值或者最大值,则

或者

得到

或者

所以 最值,矛盾。

根据前面证明存在 使得

化为

【证明完毕】

分类:

数学

标签:

数学

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刘玉记
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