拉格朗日定理的逆命题成立吗？拉格朗日定理逆命题在什么条件下成立？

拉格朗日定理

定理： 设 在区间 连续，在区间 可导，则存在 使得

拉格朗日定理逆命题逼一定成立

逆命题： 设 在区间 连续，在区间 可导，则对于 ，存在 使得

逆命题不成立的反例： 取函数

则条件“ 在区间 连续，在区间 可导”满足。对于 ,反设存在 满足

即

推出

推出 , ,因此 ,矛盾。故对于 ,不存在 满足

则对于该函数，拉格朗日定理逆命题不成立。

拉格朗日定理逆命题成立的条件

定理1： 设 在区间 连续，在区间 二阶可导，且 ,则存在 使得

证明：

• 情况1：当 时,则 为 在 上驻点，根据 ,则 必为极值点。不妨设 为极小值点。根据极小值点的定义，存在 使得

记

根据连续函数介值定理，对于 ,则存在 使得

存在 满足

因此

结论成立。

• 情况2：当 时，作辅助函数

容易得到 在 连续，在 可导，且

根据情况1，存在 使得

化为

则得到

结论成立。综上所述，结论均成立。【逆命题证明完毕】

两道考研试题

题目1（北京大学）：设 在 四阶可导，且

证明存在 使得

证明:

• 如果 ,则根据上面定理1，得到存在 使得

结论成立。

• 如果 且 ,不妨设 . 根据

得到

因此 在 右边单调增加，在 左边单调减少。根据 得到

所以 在 的左右边均单调增加。则

则 为 的极小值点。根据定理1的证明过程的情况1得到存在 使得

结论成立。

• 如果 且 ,作辅助函数

则

根据前面证明存在 使得

化为

结论成立。【证明完毕】

题目2：设 在 连续，在 可导， 不是 的最值，证明存在 使得

证明：

• 如果 , 反设结论不成立，即对于任意 满足

则 为区间 上单射。

下面证明 必为单调函数，否则存在 使得

或者

记

对于 , 根据连续函数介值定理，存在 使得 矛盾。

根据单调可导得到

或者

因此 是 的最值点。矛盾。所以反设错误。则结论成立。

• 如果 ,作辅助函数

则 在 连续，在 可导，且

且 不是 的最值，否则如果 是最小值或者最大值，则

或者

得到

或者

所以 是 最值，矛盾。

根据前面证明存在 使得

化为

【证明完毕】