四元数、点积和叉积名文章

《机器学习数学基础》第1章1.4节介绍了内积、点积的有关概念，特别辨析了内积空间、欧几里得空间；第4章4.1.1节介绍了叉积的有关概念；4.1.2节介绍了张量积（也称外积）的概念。

以上这些内容，在不同资料中，所用术语的含义会有所差别，读者阅读的时候，不妨注意，一般资料中，都是在欧几里得空间探讨有关问题，并且是在三维的欧氏空间中，其实质所指即相同。但是，如果不是在欧氏空间中，各概念、术语则不能混用。

下面从数学史的角度，参考有关文献，阐述 空间中点积和叉积的内容，目的借此深入理解《机器学习数学基础》中有关概念。

再次强调，以下讨论，是在三维欧几里得空间。

而对点积和叉积的探讨，不得不从四元数开始。

1. 四元数

1.1 哈密顿

威廉·卢云·哈密顿爵士（英語：Sir William Rowan Hamilton，1805年8月4日－1865年9月2日），爱尔兰数学家、物理学家和天文学家。

“哈密顿”这个名称，在物理学中经常会见到，因为哈密顿在1833年建立了经典力学的重新表述（与之对应的另外一个表述是拉格朗日力学） ，并且此成果也被应用在量子力学中。

在数学方面，哈密顿最著名的贡献在于发现了四元数，在如今的计算机图形学、控制理论、信号处理、轨道力学等领域，都有四元数的应用。

此外，哈密顿还是语言天才，参考文献 [5] 中列出了他所懂的语言，抄录如下：

★

哈密顿还精通多種語言。除了歐洲語言之外，他還懂得波斯語、希臘語、拉丁語、希伯來文、古代巴勒底的巴比倫文、印度梵語、佛教原典所用的巴利語、義大利語、法語、阿拉伯語、孟加拉語、巴基斯坦語、馬來語、梵文和中文等。

”

哈密顿

1.2 四元数定义

在复数 中，虚数单位 ，每个复数都可以视为平面上的一个点。

在三维欧几里得空间中，每个点可以用一个有序数 表示，这些点之间可以进行加法运算，但能不能做乘法运算？这个问题哈密顿也曾思考。据记载 ，1843年10月16日，哈密顿与夫人在运河边散步，经过一座桥，突然领悟到了四元数的定义，现在那座桥旁还立有石碑。

Brougham 桥旁的石碑，这里是哈密顿获得四元素灵感之地

★

石碑上的内容如下：

Here as he walked by on the 16th of October 1843 Sir William Rowan Hamilton in a flash of genius discovered the fundamental formula for quaternion multiplication & cut it on a stone of this bridge.

”

每个四元数（quaternion）都是 的线性组合，即一个四元数表示为：

其中， ， 是实数。

四元数加法，与向量加法类似：

1.3 四元数乘法

根据四元数定义中规定的 ，可以进行虚数单位间的乘法计算，例如：

• ，右乘 ，得： ，即 。
• ，左乘 ，得： ，即 。
• 根据 ，左乘 ，得： ，即 。
• ......

可以得到如下乘法表：

.

从上表中会发现，四元数的乘法显然不满足交换律，比如 ，而 。

两个四元数相乘：

标量与四元数相乘：

四元数的加法运算和标量乘法运算，符合向量空间的加法和乘法封闭，以及向量空间的8条运算法则（参阅《机器学习数学基础》第1章1.2.1节），故四元数的集合可视为一个定义于实数的四维向量空间：

此向量空间的基为 。

1.4 共轭和逆

设 ，

• 四元数的共轭定义为： 。

• 绝对值（模，长度，norm）： （此处使用了 结论，证明见后续内容 ）

• ，则 ，且 。

  证明

• 若 ，定义逆元：

  验证

  若 ，即 是单位四元数，则 。

1.5 四元数表示：标量-向量

令 是 的单位向量（标准正交基），四元数 可以表示为：

其中 ， ，且 。

1878年，英国数学家 William Kingdon Clifford 使用上述表示方式，计算两个四元数的乘积：

推导

因为：

代入（1.1）式，得：

（1.2）式中，即有两个向量的点积和叉积。

很可惜，Clifford提出了点积和叉积之后，未及推广，英年早逝。

1901年，美国物理学家吉布斯（Josiah Willard Gibbs）的学生将他的课堂讲义整理成书，名为《向量分析》（Vector Analysis），通过这个著名的教科书，点积和叉积得以推广。

2. 行列式与叉积

《机器学习数学基础》第4章4.1.1节中定义叉积，使用的是最常规的几何方法，下面根据参考文献 [8]，从行列式角度来理解叉积。

设 ，有：

又因为：

所以：

2.1 用行列式证明叉积性质

• 数量乘法结合律：

  根据（2.1）式，得：

  为任一向量

• 加法分配律：

  利用前面的性质，得证。

• 正交： 且 ，即 且

  若行列式中有相同的两行，则行列式值等于零。所以：

• 反对称性：

  行列式的两行互相交换，行列式值更改符号，所以：