幂函数的性质

幂函数的性质

古之欲明明德于天下者，先治其国；欲治其国者，先齐其家；欲齐其家者，先修其身；欲修其身者，先正其心；欲正其心者，先诚其意；欲诚其意者，先致其知。致知在格物。物格而后知至，知至而后意诚，意诚而后心正，心正而后身修，身修而后家齐，家齐而后国治，国治而后天下平。自天子以至于庶人，壹是皆以修身为本。——《大学章句集注》朱熹【宋代】

上面这幅图相信大家都认识，就是常见幂函数的图象。 幂函数：一般地，形如 的函数，叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数, . 下面我们从奇偶性、单调性两大函数性质,对于 的幂函数进行总结。当 为无理数时，需要高等数学里面的知识，在文章最后我会为大家展示以 为例的指数部分为无理数的函数图象。

1、幂函数最基本的特点

1. 在第四象限没有函数图象。
2. 恒过（1,1）。
3. 函数定义域由 确定，不同幂函数的定义域不同。
4. 奇函数图象都在1、3象限；偶函数图象在2、4象限；非奇非偶函数图象只在第1象限。

2、幂函数的性质（奇偶性）

当 为偶数时，幂函数 为偶函数。 当 为奇数时，幂函数 为奇函数； 当 为偶数时{(m,n)=1表示m,n互素}，幂函数 的奇偶性又细分如下两种情况；

1. 当 为偶数时，幂函数 为非奇非偶函数。
2. 当 为奇数时，幂函数 的奇偶性分为如下两种；
   当 为奇数时，幂函数 为奇函数。
   当 为偶数时，幂函数 为偶函数。

3、幂函数的性质（单调性）

当 时，从单调性出发去研究，我们可以得到幂函数 在 内是单调递增的。 当 时，从单调性出发去研究，我们可以得到幂函数 在 内是单调递减的。 当 时，从单调性出发去研究，我们可以得到幂函数 在 内是靠着 轴单调递增的（我们也可以把它叫做下凸增加的）。 当 时，从单调性出发去研究，我们可以得到幂函数 在 内是靠着 轴单调递增的（我们也可以把它叫做上凸增加的）。 以上，我只说明了幂函数 在 上的单调性，关于其在定义域上的单调性，我们可以借助函数的奇偶性去解决。

4、幂函数的图象

只需要作出第一象限的图象，其余可借助奇偶性去作图。

5、幂函数 的图象

关于上述幂函数 的图象我们可以看出，有两条线，一个就是 即实数部分和 虚数部分。这个需要用的高等数学的内容。对此笔者也就不叙述了。