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2022/10/26阅读:54主题:锤子便签主题第2版

幂函数的性质

幂函数的性质

古之欲明明德于天下者,先治其国;欲治其国者,先齐其家;欲齐其家者,先修其身;欲修其身者,先正其心;欲正其心者,先诚其意;欲诚其意者,先致其知。致知在格物。物格而后知至,知至而后意诚,意诚而后心正,心正而后身修,身修而后家齐,家齐而后国治,国治而后天下平。自天子以至于庶人,壹是皆以修身为本。——《大学章句集注》朱熹【宋代】

常见幂函数图象
常见幂函数图象

上面这幅图相信大家都认识,就是常见幂函数的图象。 幂函数:一般地,形如 的函数,叫做幂函数,其中 是自变量, 是常数, . 下面我们从奇偶性、单调性两大函数性质,对于 的幂函数进行总结。当 为无理数时,需要高等数学里面的知识,在文章最后我会为大家展示以 为例的指数部分为无理数的函数图象。

1、幂函数最基本的特点

  1. 在第四象限没有函数图象。
  2. 恒过(1,1)。
  3. 函数定义域由 确定,不同幂函数的定义域不同。
  4. 奇函数图象都在1、3象限;偶函数图象在2、4象限;非奇非偶函数图象只在第1象限。

2、幂函数的性质(奇偶性)

为偶数时,幂函数 为偶函数。 为奇数时,幂函数 为奇函数; 为偶数时{(m,n)=1表示m,n互素},幂函数 的奇偶性又细分如下两种情况;

  1. 为偶数时,幂函数 为非奇非偶函数。
  2. 为奇数时,幂函数 的奇偶性分为如下两种;
    为奇数时,幂函数 为奇函数。
    为偶数时,幂函数 为偶函数。

3、幂函数的性质(单调性)

时,从单调性出发去研究,我们可以得到幂函数 内是单调递增的。 时,从单调性出发去研究,我们可以得到幂函数 内是单调递减的。 时,从单调性出发去研究,我们可以得到幂函数 内是靠着 轴单调递增的(我们也可以把它叫做下凸增加的)。 时,从单调性出发去研究,我们可以得到幂函数 内是靠着 轴单调递增的(我们也可以把它叫做上凸增加的)。 以上,我只说明了幂函数 上的单调性,关于其在定义域上的单调性,我们可以借助函数的奇偶性去解决。

4、幂函数的图象

只需要作出第一象限的图象,其余可借助奇偶性去作图。

5、幂函数 的图象

关于上述幂函数 的图象我们可以看出,有两条线,一个就是 即实数部分和 虚数部分。这个需要用的高等数学的内容。对此笔者也就不叙述了。

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