2号

V1

2022/09/29阅读:18主题:默认主题

单变量微积分

1. 微积分

Single-variable Calculus • Mathematical induction √ • Rational numbers, real numbers, complex numbers (addition, multiplication, modulus, conjugate, polar form, Euler's relation) √ • Real functions (examples and graphs) √ • Limits and continuity (epsilon-delta definition, techniques for finding limits, continuity via limits of sequences, properties of continuous functions on closed intervals) √ • Differentiation (product rule, chain rule, quotient rule, mean value theorem, l'Hopital's rule, finding extrema, convexity, inverse functions) √ • Sketching graphs of functions (basic principles of curve sketching, asymptotes, extrema, monotonicity, convexity, inflection points) √ • Integration (Riemann/Darboux integral, integration by parts, substitution rule, mean value theorem, fundamental theorem of calculus, improper integrals) √

Suggested Literature: • James Stewart, Calculus (8th edition), Cengage learning, 2015. ISBN: 978-1- 285-74062-1

1 基本知识

1.1 预备知识

集合、数学归纳法 Mathematical induction、不等式、极坐标、区间、邻域

  • 第一数学归纳法
    1. 证明n=1时,命题P(1)成立
    2. 证明 是,P(n-1)成立可以推得P(n)成立,则命题P(n)对于所有n成立
  • 第二数学归纳法
    1. 证明n=1时,命题P(1)成立
    2. 假设对于小于n的自然数,命题 都成立,由此推得P(n)成立,则P(n)对于所有n都成立

例题1.1:用数学归纳法证明

1.2 有理数,实数,复数

  • Rational Number 有理数

  • Real Number 实数

    有理数和无理数统称实数

  • 复数

    • 加法

    • 乘法

    • 取模 modulus

      复数的模,是复数的实部和虚部的平方的和的正的平方根

      设复数 ,则

    • 共轭 conjugate

    • 极坐标 polar form

    • 欧拉关系

      复指数函数与三角函数的关系式常称为欧拉公式:

      例题1.2 求 的n阶导数

2 极限与连续

2.1 epsilon-delta定义

在点 的某一邻域 上有定义,若

也即对任意 ,存在 ,当 时,恒有

则我们称函数 处连续

例题2.1 证明

2.2 极限的存在准则

  • 夹逼定理

    假设在某极限过程中 ,且

    例题2.2.1 求

  • 单调有界准则

    单调有界数列必然收敛

    例题2.2.2 求数列 的极限存在

  • 第一个基本极限

  • 第二个基本极限

2.3 闭区间上连续函数的性质

  • 零点性质

    上连续,且 ,则至少存在一个 ,使得

  • 介值性质

    上连续,且 ,或者 ,则至少存在一个 ,使得

  • 有界性定理

    在闭区间上连续,则在闭区间上有界

  • 最值定理

    在闭区间上连续,则取得最大值和最小值

3 导数与微分

3.1 导数的运算法则

  1. 导数的四则运算

    如果函数 都在点 处可导,则

    1. 在点 处也可导,且

    2. 在点 处也可导

    3. 在点 处也可导,且

  2. 复合函数的求导法则

  3. 莱布尼兹公式

3.2 微分运算法则

  • 微分的加法法则
  • product rule 乘积法则
  • quotient rule 商法则

例题3.2 设函数 确定,求

3.3 mean value theorem 均值定理

微分中值定理将函数值与区间内某点的导数值则

  1. 费马定理

    设函数 在点 某个领域 内有定义,且在 可导,如果对任意的 ,有

  2. 洛尔定理

    设函数 满足条件:

    1. 在闭区间 上连续
    2. 在开区间 上可导

    则在 内至少有一点

  3. 拉格朗日中值定理

  4. 柯西中值定理

例题3.3 证明

3.4 洛必达法则

  1. 的不定型
  2. 的不定型
  3. 其它的不定型

例题3.4 计算

3.5 函数的极值与凹凸性

  • 函数严格单调的充分条件

    设函数 在区间 上可导,如果在区间 上的每一点成立 上严格单调增加(或减少)

  • 极大值和极小值

  • 最大值和最小值

  • 函数图形的凹向和拐点

    设函数 在区间 内有二阶导数 ,若在 (或者 ),则曲线在 上是上凹的(或下凹的)

    设函数 在点 连续,如果存在 使得 在区间 上的凹向性相反,则称点 为函数曲线的拐点

3.6 函数作图

  1. 确定函数的定义域,并考察对称性和周期性
  2. 利用函数的一阶、二阶导数讨论函数的单调性,算出极值,讨论函数的凹向性,求出拐点
  3. 确定曲线的渐近线
  4. 根据需要和可能,求出某些特殊点

例题3.6 作出函数 的图形

4 积分

4.1 不定积分

例题4.1 求

4.2 定积分(Riemann integral 黎曼积分)

定积分的性质:

  • 在可积区间的子区间上可积
  • $\text { 设 } a

4.3 分部积分法

或者

例题4.3 求

4.4 换元积分法则 substitution rule

例题4.4 求

4.5 积分中值定理

  • 第一中值定理

    • 推论

  • 拉格朗日中值定理

4.6 微积分基本定理

  • 第一基本定理

    设函数 在某区间 上连续,则 可导,且

  • 第二基本定理(牛顿莱布尼兹公式)

    例题4.6.1 求

    例题4.6.2,求

分类:

数学

标签:

高等数学

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