1. 微积分

Single-variable Calculus • Mathematical induction √ • Rational numbers, real numbers, complex numbers (addition, multiplication, modulus, conjugate, polar form, Euler's relation) √ • Real functions (examples and graphs) √ • Limits and continuity (epsilon-delta definition, techniques for finding limits, continuity via limits of sequences, properties of continuous functions on closed intervals) √ • Differentiation (product rule, chain rule, quotient rule, mean value theorem, l'Hopital's rule, finding extrema, convexity, inverse functions) √ • Sketching graphs of functions (basic principles of curve sketching, asymptotes, extrema, monotonicity, convexity, inflection points) √ • Integration (Riemann/Darboux integral, integration by parts, substitution rule, mean value theorem, fundamental theorem of calculus, improper integrals) √

Suggested Literature: • James Stewart, Calculus (8th edition), Cengage learning, 2015. ISBN: 978-1- 285-74062-1

1 基本知识

1.1 预备知识

集合、数学归纳法 Mathematical induction、不等式、极坐标、区间、邻域

• 第一数学归纳法

  1. 证明n=1时，命题P(1)成立
  2. 证明 是，P(n-1)成立可以推得P(n)成立，则命题P(n)对于所有n成立
• 第二数学归纳法

  1. 证明n=1时，命题P(1)成立
  2. 假设对于小于n的自然数，命题 都成立，由此推得P(n)成立，则P(n)对于所有n都成立

例题1.1：用数学归纳法证明

1.2 有理数，实数，复数

• Rational Number 有理数

• Real Number 实数

  有理数和无理数统称实数

• 复数

  • 加法

  • 乘法

  • 取模 modulus

    复数的模，是复数的实部和虚部的平方的和的正的平方根

    设复数 ，则

  • 共轭 conjugate

  • 极坐标 polar form

  • 欧拉关系

    复指数函数与三角函数的关系式常称为欧拉公式：

    例题1.2 求 的n阶导数

2 极限与连续

2.1 epsilon-delta定义

设 在点 的某一邻域 上有定义，若

也即对任意 ，存在 ，当 时，恒有

则我们称函数 在 处连续

例题2.1 证明

2.2 极限的存在准则

• 夹逼定理

  假设在某极限过程中 ，且

  例题2.2.1 求

• 单调有界准则

  单调有界数列必然收敛

  例题2.2.2 求数列 的极限存在

• 第一个基本极限

• 第二个基本极限

2.3 闭区间上连续函数的性质

• 零点性质

  设 在 上连续，且 ，则至少存在一个 ，使得

• 介值性质

  设 在 上连续，且 ，或者 ，则至少存在一个 ，使得

• 有界性定理

  在闭区间上连续，则在闭区间上有界

• 最值定理

  在闭区间上连续，则取得最大值和最小值

3 导数与微分

3.1 导数的运算法则

1. 导数的四则运算

   如果函数 和 都在点 处可导，则

   1. 在点 处也可导，且

   2. 在点 处也可导

   3. 在点 处也可导，且

2. 复合函数的求导法则

3. 莱布尼兹公式

3.2 微分运算法则

• 微分的加法法则
• product rule 乘积法则
• quotient rule 商法则

例题3.2 设函数 确定，求

3.3 mean value theorem 均值定理

微分中值定理将函数值与区间内某点的导数值则

1. 费马定理

   设函数 在点 某个领域 内有定义，且在 可导，如果对任意的 ，有

   则

2. 洛尔定理

   设函数 满足条件：

   1. 在闭区间 上连续
   2. 在开区间 上可导

   则在 内至少有一点

3. 拉格朗日中值定理

4. 柯西中值定理

例题3.3 证明

3.4 洛必达法则

1. 的不定型
2. 的不定型
3. 其它的不定型

例题3.4 计算

3.5 函数的极值与凹凸性

• 函数严格单调的充分条件

  设函数 在区间 上可导，如果在区间 上的每一点成立 则 在 上严格单调增加（或减少）

• 极大值和极小值

• 最大值和最小值

• 函数图形的凹向和拐点

  设函数 在区间 内有二阶导数 ，若在 内 （或者 ），则曲线在 上是上凹的（或下凹的）

  设函数 在点 连续，如果存在 使得 在区间 与 上的凹向性相反，则称点 为函数曲线的拐点

3.6 函数作图

1. 确定函数的定义域，并考察对称性和周期性
2. 利用函数的一阶、二阶导数讨论函数的单调性，算出极值，讨论函数的凹向性，求出拐点
3. 确定曲线的渐近线
4. 根据需要和可能，求出某些特殊点

例题3.6 作出函数 的图形

4 积分

4.1 不定积分

例题4.1 求

4.2 定积分（Riemann integral 黎曼积分）

定积分的性质：

• 在可积区间的子区间上可积
• $\text { 设 } a

4.3 分部积分法

或者

例题4.3 求

4.4 换元积分法则 substitution rule

例题4.4 求

4.5 积分中值定理

• 第一中值定理

  • 推论

• 拉格朗日中值定理

4.6 微积分基本定理

• 第一基本定理

  设函数 在某区间 上连续，则 可导，且

• 第二基本定理（牛顿莱布尼兹公式）

  例题4.6.1 求

  例题4.6.2,求