宫水三叶的刷题日记

V1

2022/08/19阅读:16主题:前端之巅同款

【区间求和问题】上下界分析 + 差分应用

题目描述

这是 LeetCode 上的 798. 得分最高的最小轮调 ,难度为 困难

Tag : 「区间求和问题」、「差分」

给你一个数组  ,我们可以将它按一个非负整数 进行轮调,这样可以使数组变为   的形式。此后,任何值小于或等于其索引的项都可以记作一分。

例如,数组为  ,我们按   进行轮调后,它将变成  。这将记为 分,因为 [不计分]、 [不计分]、 [计 分]、 [计 分], [计 分]。 在所有可能的轮调中,返回我们所能得到的最高分数对应的轮调下标 。如果有多个答案,返回满足条件的最小的下标

示例 1:

输入:nums = [2,3,1,4,0]

输出:3

解释:
下面列出了每个 k 的得分:
k = 0,  nums = [2,3,1,4,0],    score 2
k = 1,  nums = [3,1,4,0,2],    score 3
k = 2,  nums = [1,4,0,2,3],    score 3
k = 3,  nums = [4,0,2,3,1],    score 4
k = 4,  nums = [0,2,3,1,4],    score 3
所以我们应当选择 k = 3,得分最高。

示例 2:

输入:nums = [1,3,0,2,4]

输出:0

解释:
nums 无论怎么变化总是有 3 分。
所以我们将选择最小的 k,即 0。

提示:

上下界分析 + 差分应用

为了方便,令 长度(中文的数据范围是错的,数组长度应该是 ,不是 )。

对于给定的 而言,有效的轮调范围为 ,即对于任意 而言,可取的下标共有 种。

假定当前下标为 ,轮调次数为 ,那么轮调后下标为 ,当新下标为负数时,相当于 出现在比原数组更“靠后”的位置,此时下标等价于

考虑什么情况下 能够得分?

首先新下标的取值范围为 ,即有 。由此可分析出 的取值范围为:

即由新下标取值范围可知 的上下界分别为

同时为了满足得分定义,还有 ,进行变形可得:

此时我们有两个关于 的上界 ,由于 取值范围为 ,则有 ,由于必须同时满足「合法移动(有效下标)」和「能够得分」,我们仅考虑范围更小(更严格)由 推导而来的上界 即可。

综上, 能够得分的 的取值范围为

最后考虑 (均进行加 转为正数)什么情况下为合法的连续段:

  • 时, 为合法连续段;
  • 时,根据负数下标等价于 ,此时 等价于 两段。

至此,我们分析出原数组的每个 能够得分的 的取值范围,假定取值范围为 ,我们可以对 进行 标记,代表范围为 能够得 分,当处理完所有的 后,找到标记次数最多的位置 即是答案。

标记操作可使用「差分」实现(不了解差分的同学,可以先看前置🧀:差分入门模板题,里面讲解了差分的两个核心操作「区间修改」&「单点查询」),而找标记次数最多的位置可对差分数组求前缀和再进行遍历即可。

代码:

class Solution {
    static int N = 100010;
    static int[] c = new int[N];
    void add(int l, int r) {
        c[l] += 1; c[r + 1] -= 1;
    }
    public int bestRotation(int[] nums) {
        Arrays.fill(c, 0);
        int n = nums.length;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int a = (i - (n - 1) + n) % n, b = (i - nums[i] + n) % n;
            if (a <= b) {
                add(a, b);
            } else {
                add(0, b);
                add(a, n - 1);
            }
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++) c[i] += c[i - 1];
        int ans = 0, k = c[0];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (c[i] > k) {
                k = c[i]; ans = i;
            }
        }
        return ans;
    }
}
  • 时间复杂度:
  • 空间复杂度:

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.798 篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。

在仓库地址里,你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。

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