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2022/07/23阅读:25主题:默认主题

Green-Tao 定理 (3): 反一致函数及其生成的 Sigma-代数

3.1 Gowers 反一致性

前面已经介绍过 Gowers 范数 , 现在我们介绍它的对偶范数

为 Gowers 反一致的, 若同时有 . 下面将简称 为反 Gowers 函数.

注. 时容易看到 .

下面我们将看到, 从任给的实函数 , 可以生成一个反 Gowers 函数 :

也称为 的对偶函数.

引理 3.1.1. 阶伪随机测度, 为实函数.

(1) ;

(2) ;

(3) 若 逐点成立, 则

证明. (1) 仅仅是 Gowers 范数的定义:

为证明 (2), 由对偶范数的定义, 只要证 对任给的实函数成立, 再由 (1) 知可以取等即证. 但

其中 , . 这便是 Gowers-Cauchy-Schwarz 不等式 (定理 1.3.2) 的直接应用.

下面假设 , . 注意到 , 我们只要证

事实上对任意 ,

这只要注意到 亦为伪随机测度 (定理 1.2.4), 可以使用 线性型条件.

由上面定理知, 对足够大的 , 将只在 中取值. 称 基本反 Gowers 函数, 若 .

本节的主要结果如下:

定理 3.1.2. 阶伪随机测度, 为取定正整数, 为连续函数. 对基本反 Gowers 函数 , 定义

则有估计 ; 若 在某个 中, 则上面的 可以替换为一致估计 .

证明. 证明分为两个步骤: 先对 为多项式的情形证明, 再使用 Weierstrass 逼近定理推广到全体连续函数上. 将 换为 , 除以 2, 我们可以假设

引理 3.1.3. 次多项式 ,

引理的证明. 注意到 的线性性, 再至多将 增大至 的代价下, 只要对 证明, 也就是证明对所有实函数 满足 ,

将左边展开得到

为了用上 Gowers 内积, 做变量替换 , 上式变为

注意到此式可以写为 Gowers 内积的形式: 对矩阵 , 定义函数族 如下: , 对 定义 , 其中 ,

于是由 Gowers-Cauchy-Schwarz 不等式 (定理1.3.2),

最后一步使用了 Hölder 不等式. 于是只要证对每个 , 都有

取定 , 再次使用 Hölder 不等式,

所以只要证

由于 讨论起来并不方便, 注意到 取值的分布是一致的, 于是

再次展开, 并用 控制 ,

于是只要证对每个 成立估计. 变量代换 , 我们要证

接下来我们将使用相关性条件 (定义 1.1.1), 这也将是全文唯一一次使用到这一条件. 由此得到

利用 的三角不等式, 只要证任给 都有